Variétés topologiques

Il s'agit de montrer qu'un point (au moins) ne possède aucun voisinage homéomorphe à $\left]-1,1\right[$. Un critère commode (ici) : si on enlève ce point dans un voisinage, il y a toujours strictement plus de deux composantes connexes (alors que $\left]-1,1\right[\setminus\{0\}$ en a deux).

(On peut utiliser ce critère pour montrer que $\R$ et $\R^2$ ne sont pas homéomorphes.)

Dans les deux cas, le carré est vide, n'est-ce pas ?

Pour la réunion $X$ de ce cercle et de ce carré, le point $O=(0,0)$ pose problème : pour tout disque $D$ centré en $0$ de rayon $r<\frac12$, l'intersection $(D\cap X)\setminus\{O\}$ est la réunion de quatre composantes connexes dans l'adhérence desquelles se trouve $O$. Si $X$ était une variété topologique, il existerait un homéomorphisme d'un voisinage convenable de $O$ dans $X$ sur $\left]-1,1\right[$ qui envoie $O$ sur $0$ (une carte), mais ça n'est pas possible puisque $\left]-1,1\right[\setminus\{0\}$ admet deux composantes connexes.

Je suppose que le deuxième exemple était la réunion du carré avec le segment $[0,1]\times\{0\}$. Cette fois, tout voisinage assez petit de $O$ devient, si on supprime $O$, la réunion de trois composantes connexes. Toujours une de trop.

En effet, la réunion du cercle et du carré privée du point $O$ est une variété topologique. Elle admet quatre composantes connexes homéomorphes à $\left]-1,1\right[$ (et à $\R$).