Décomposition cellulaire d'une surface

odile0502
odile0502
dans Topologie
Bonjour
Comment trouver la décomposition cellulaire de la bouteille de Klein ?
Et celle d'une somme connexe de deux surfaces ?
Merci.

Réponses

  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Tu veux écrire la bouteille de Klein comme un CW-complexe ? Tu peux partir de sa représentation comme un quotient de $[0,1]^2$, ça m'a l'air d'être le plus simple.

    Pour la somme connexe, tu peux coller les deux surfaces au niveau de deux points qui sont chacun à l'intérieur d'une cellule (si on dispose déjà de décompositions cellulaires pour les deux surfaces). Donc on se retrouve à faire une somme connexe de deux disques (ça fait un cylindre) et les autres cellules des deux surfaces sont inchangées. Puis il faut décomposer le cylindre en cellules et ça nous donne une décomposition cellulaire de la totalité de la somme connexe des deux surfaces.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Pour la bouteille de Klein, tu peux faire comme d'habitude avec ces machins et revenir à la définition en termes de carré et trianguler ledit carré de manière compatible

    (d'ailleurs, tu dis "la" décomposition cellulaire mais il y en a en principe plusieurs possibles)
  • odile0502
    odile0502
    Merci à vous deux!
    @Maxtimax , je pensais à la décomposition avec le moins de cellules possible car effectivement , il n'y en a pas qu'une

    J'ai une autre question sans vouloir vous déranger.
    J'ai un carré dont on a coupé les 4 coins en forme de 1/2 cercles donc chaque "coin" est maintenant un 1/2 cercle de même rayon bien sûr. Ce nouveau carré est orienté comme le carré du tore, avec les côtés " parallèles " qui ont des flèches dans le même sens.

    On me demande de calculer le nombre de composantes connexes de cette surface
    Mais moi je la trouve connexe cette surface donc comment compter les composantes ?

    Ou je n'ai rien compris ?
  • Calli
    Calli
    C'est ça en collant le côté rouge sur le côté rouge et le côté vert sur le côté vert ? Si oui, c'est effectivement connexe, donc il n'y a qu'une composante connexe.119178
  • odile0502
    odile0502
    C'est ça Calli mais avec les 1/2 cercles noirs dans l'autre sens!
    Les arcs noirs sont " rentrés" à l'intérieur
  • Calli
    Calli
    D'accord. Le sens des demi-cercles ne modifie pas l'objet à homéomorphisme près. Donc c'est clairement connexe. Un truc plus intéressant serait de calculer de groupe fondamental de cet espace.
  • odile0502
    odile0502
    Ouf, c'est ce que j'avais écrit. Merci super Calli !

    Il est demandé ensuite si c'est un espace triangulable. Si oui il faut dessiner la triangulation
    puis donner un retract par déformation de cet espace (qui contient un minimum de cellules),
    puis donner les groupes d'homologie de cet espace.

    Les arcs de cercles aux coins me poussent à dire qu'on ne peut pas couvrir cette surface d'un nombre fini de triangles
    Ou ce n'est pas comme ça qu'il faut aborder la triangulation ?
  • Calli
    Calli
    Qu'est-ce que tu appelles la triangulation exactement ?
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