Sur la complétude

topalg
topalg
dans Topologie
Bonjour
J'ai quelques questions.

1) Quand je cherche à savoir pourquoi $\C$ est complet un livre me dit que c'est parce que $\C$ est un produit d'espaces complets. Est-ce qu'on pourrait me préciser c'est le produit de quels espaces complets ?

2) Comment on prouve que $\C^{*}$ n'est pas un fermé de $\C$ ?

3) Je ne comprends pas pourquoi $\N$ est fermé dans $\R$, je veux dire $\N$ est l'union des singletons $\{0\} \cup \{1\} \cup\ldots$ et un singleton est un fermé mais cette union est dénombrable.

4) Pour justifier que $Q^{n}$ n'est pas fermé dans le complet $\R^{n}$ un livre me dit que
$\overline{Q^{n}}= \overline{Q}^{n} = \R^{n}$. Je ne connaissais pas cette formule de l'adhérence d'un produit cartésien, est-ce qu'elle est valable (je demande cela car cette formule n'est pas dans mon cours de topologie) ?
Merci d'avance.

[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    1) $\C = \R\times\R$ en tant qu'espaces, par définition

    2) Tu peux montrer que $0$ est dans son adhérence

    3) Soit $(x_n)$ une suite d'entiers convergente. Elle est alors de Cauchy, de sorte qu'à partir d'un certain rang, ses termes sont à une distance $< 1$. Donc...

    4) Oui, pour tout produit $X\times Y$ et $A\subset X, B\subset Y$, $\overline{A\times B} = \overline A\times \overline B$. Une inclusion devrait être facile; pour l'autre inclusion tu peux utiliser le complémentaire et la définition des ouverts de $X\times Y$
  • topalg
    topalg
    Merci Maxtimax mais excuse moi dans le 3) je n'arrive pas à voir comment à partir de ton raisonnement tu arrives à prouver que $\N$ est fermé dans $\R$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Je n'ai pas fini le raisonnement, je t'ai laissé la fin ;-)
  • topalg
    topalg
    La limite de ta suite $(x_{n})$ va appartenir à l'adhérence de $\N$. Il faudrait montrer que l'adhérence de $\N$ c'est $\N$.
  • topalg
    topalg
    Maxtimax tu ne peux pas m'aider? Je n'y arrive pas.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Connais-tu beaucoup d'entiers $n$ et $m$ tels que $|n-m| < 1$ ?
  • topalg
    topalg
    Non il n'y en pas donc on aboutit à une contradiction.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Une contradiction à partir de quoi ? Il y a bien de tels entiers. Tu peux écrire ça plus clairement, tu verras !
  • Poirot
    Poirot
    Il n'y a aucune contradiction. Essaye de faire la preuve en entier, en isolant précisément ce que tu souhaites montrer. C'est comme ça qu'on apprend. Le plus dur t'a été prémâché par Max.
  • topalg
    topalg
    Ça veut dire qu'une hypothèse de départ est fausse. J'ai pensé a dire "alors ça entraîne qu'il n'existe pas de suite d'entiers naturels convergentes" mais c'est faux car il existe des suites d'entiers naturels convergentes.
  • Chalk
    Chalk
    Moi je connais beaucoup d'entiers $n$ et $m$ tels que $|n-m| < 1$.

    Tu réponds en mode automatique topalg ou tu réfléchis vraiment aux questions posés ? Il aurait pu demander "Connais-tu beaucoup de réels plus grands que $\pi$ ?" et tu aurais répondu qu'il n'y en a pas juste à cause de la tournure de la question ?
  • gerard0
    gerard0
    Topalg, tu as écrit "on aboutit à une contradiction"
    Maxtimax t'a répondu "Il y a bien de tels entiers" et Poirot "Il n'y a aucune contradiction".

    Cordialement.
  • topalg
    topalg
    D'accord il n'y a pas de contradiction.
  • topalg
    topalg
    Je vais peut être dire une bêtise mais je ne connais pas d'entiers n et m tels que $|n-m|<1$.
  • topalg
    topalg
    S'il vous plaît, ne vous moquez pas de moi j'essaie vraiment de réfléchir aux questions posées.
  • Poirot
    Poirot
    Peut-être que c'est la tournure qui te perd. Soit $m, n \in \mathbb N$. Si $|m-n| < 1$ alors...?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Personne ici ne se moque de toi, on essaie au contraire de t'aider

    Prenons $n=2$. Connais-tu beaucoup d'entiers $m$ tels que $|m-2|<1$ ?
  • topalg
    topalg
    Chalk quand tu dis que tu connais beaucoup d'entiers m et tels que $|m-n|<1$ tu peux me donner un exemple?
  • topalg
    topalg
    A ta question Maxtimax je dirais que ça entraine que $m=2$.
  • topalg
    topalg
    Pardonnez moi mais je reste stupéfait par ce qu'a dit Chalk " Moi je connais beaucoup d'entiers n et m tels que
    |n-m|<1"
  • topalg
    topalg
    Du coup je me demande s'il se moque de moi ou s'il est vraiment sincère quand il dit ça.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Chalk est sincère: il y a tous les couples $(n,n)$.
    Et comme tu le remarques "ça entraîne que $m=2$", il n'y a que ceux-là. Peux-tu essayer de conclure maintenant ? ce n'est pas une preuve par contradiction
  • topalg
    topalg
    Ça veut dire que la suite $(x_{n})$ est stationnaire à partir d'un certain rang c'est-à-dire que la limite de la suite $(x_{n})$ va être un entier naturel donc $\N$ est fermé dans $\R$.
  • christophe c
    christophe c
    AAAAAAaaaaahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh!!!!!!!!!!!

    Je me suis mis à trembler à partir d'une dizaine de posts avant le présent en espérant secrêtement que personne ne lui spoilerait les couples $(m,n)$ tels que $m=n$.

    Mais ta jeunesse Max, entrainant tes générosités et empathie, t'a fait lui lâcher le morceau. Snif pour son réseau de neurones. Il allait vivre un truc très intense à T+1jour si tu ne lui avais pas dit, et ça aurait changé sa vie mathématique...
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Bon, je précise que je spécule, bien évidemment, je ne suis pas expert mondial en psychiatrie. Mais mon expérience...
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    CC a écrit:
    je ne suis pas expert mondial en psychiatrie

    Pourtant, à t'entendre parfois... :-D
  • christophe c
    christophe c
    :-D :-D J'ai dû faire des progrès récemment pour tout dire, mais je reste un amateur plus déséquilibré qu'équilibrant.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • topalg
    topalg
    Christophe quand vous avez écrit: "Je me suis mis à trembler à partir d'une dizaine de posts" vous m'avez fait rire.
    Ma mère m'a dit qu'elle me trouve bizarre ce soir, elle m'a dit que j'ai l'air pas content, si seulement elle savait ce que j'ai appris aujourd'hui lol.
  • topalg
    topalg
    J'ai envoyé un message privé à Maxtimax, il a dû bien rire depuis sa chambre à Copenhague.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Christophe : topalg avait trouvé, en disant que ça implique $m=2$. J'aurais pu attendre encore, mais n'étais pas sûr de l'intérêt
  • AlainLyon
    AlainLyon
    topalg écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2212268,2212268#msg-2212268 point 3)

    Fais un dessin : le graphe une fonction continue et affine par morceaux de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui s'annule exactement sur les entiers. $\mathbb{N} =f^{-1}(\lbrace 0\rbrace)$ est un ... ?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Si $\mathbb{C}^*$ était fermé de $\mathbb{C}$ complet il serait complet. La suite de terme $1/n$ est de Cauchy dans $\mathbb{C}^*$, converge-t-elle dans $\mathbb{C}^*$ ?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • topalg
    topalg
    Non la suite de terme $1/n$ ne converge pas dans $\C^{*}$ donc $\C^{*}$ n'est pas un fermé de $\C$.
    Pour ta première question je ne sais pas.
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Pour $\mathbb{Q}^n$ : il n'est pas égal à son adhérence $\mathbb{R}^n$
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
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