Sur la complétude
Bonjour
J'ai quelques questions.
1) Quand je cherche à savoir pourquoi $\C$ est complet un livre me dit que c'est parce que $\C$ est un produit d'espaces complets. Est-ce qu'on pourrait me préciser c'est le produit de quels espaces complets ?
2) Comment on prouve que $\C^{*}$ n'est pas un fermé de $\C$ ?
3) Je ne comprends pas pourquoi $\N$ est fermé dans $\R$, je veux dire $\N$ est l'union des singletons $\{0\} \cup \{1\} \cup\ldots$ et un singleton est un fermé mais cette union est dénombrable.
4) Pour justifier que $Q^{n}$ n'est pas fermé dans le complet $\R^{n}$ un livre me dit que
$\overline{Q^{n}}= \overline{Q}^{n} = \R^{n}$. Je ne connaissais pas cette formule de l'adhérence d'un produit cartésien, est-ce qu'elle est valable (je demande cela car cette formule n'est pas dans mon cours de topologie) ?
Merci d'avance.
[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
J'ai quelques questions.
1) Quand je cherche à savoir pourquoi $\C$ est complet un livre me dit que c'est parce que $\C$ est un produit d'espaces complets. Est-ce qu'on pourrait me préciser c'est le produit de quels espaces complets ?
2) Comment on prouve que $\C^{*}$ n'est pas un fermé de $\C$ ?
3) Je ne comprends pas pourquoi $\N$ est fermé dans $\R$, je veux dire $\N$ est l'union des singletons $\{0\} \cup \{1\} \cup\ldots$ et un singleton est un fermé mais cette union est dénombrable.
4) Pour justifier que $Q^{n}$ n'est pas fermé dans le complet $\R^{n}$ un livre me dit que
$\overline{Q^{n}}= \overline{Q}^{n} = \R^{n}$. Je ne connaissais pas cette formule de l'adhérence d'un produit cartésien, est-ce qu'elle est valable (je demande cela car cette formule n'est pas dans mon cours de topologie) ?
Merci d'avance.
[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
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Réponses
2) Tu peux montrer que $0$ est dans son adhérence
3) Soit $(x_n)$ une suite d'entiers convergente. Elle est alors de Cauchy, de sorte qu'à partir d'un certain rang, ses termes sont à une distance $< 1$. Donc...
4) Oui, pour tout produit $X\times Y$ et $A\subset X, B\subset Y$, $\overline{A\times B} = \overline A\times \overline B$. Une inclusion devrait être facile; pour l'autre inclusion tu peux utiliser le complémentaire et la définition des ouverts de $X\times Y$
Tu réponds en mode automatique topalg ou tu réfléchis vraiment aux questions posés ? Il aurait pu demander "Connais-tu beaucoup de réels plus grands que $\pi$ ?" et tu aurais répondu qu'il n'y en a pas juste à cause de la tournure de la question ?
Maxtimax t'a répondu "Il y a bien de tels entiers" et Poirot "Il n'y a aucune contradiction".
Cordialement.
Prenons $n=2$. Connais-tu beaucoup d'entiers $m$ tels que $|m-2|<1$ ?
|n-m|<1"
Et comme tu le remarques "ça entraîne que $m=2$", il n'y a que ceux-là. Peux-tu essayer de conclure maintenant ? ce n'est pas une preuve par contradiction
Je me suis mis à trembler à partir d'une dizaine de posts avant le présent en espérant secrêtement que personne ne lui spoilerait les couples $(m,n)$ tels que $m=n$.
Mais ta jeunesse Max, entrainant tes générosités et empathie, t'a fait lui lâcher le morceau. Snif pour son réseau de neurones. Il allait vivre un truc très intense à T+1jour si tu ne lui avais pas dit, et ça aurait changé sa vie mathématique...
Pourtant, à t'entendre parfois... :-D
Ma mère m'a dit qu'elle me trouve bizarre ce soir, elle m'a dit que j'ai l'air pas content, si seulement elle savait ce que j'ai appris aujourd'hui lol.
Fais un dessin : le graphe une fonction continue et affine par morceaux de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui s'annule exactement sur les entiers. $\mathbb{N} =f^{-1}(\lbrace 0\rbrace)$ est un ... ?
Pour ta première question je ne sais pas.