Exercice polynômes de Bernstein
Bonjour à tous,
J'essaye de résoudre un exercice sur les polynômes de Bernstein qui démontre le théorème de Weierstrass (d'après moi). J'ai déjà fait les questions préliminaires à cette démonstration et la 1ère question de cette démonstration mais je n'arrive pas du tout à avancer sur les 3 autres questions de la démonstration.
Si certains d'entre vous ont des idées, je vous mets ci-dessous les questions.
J'essaye de résoudre un exercice sur les polynômes de Bernstein qui démontre le théorème de Weierstrass (d'après moi). J'ai déjà fait les questions préliminaires à cette démonstration et la 1ère question de cette démonstration mais je n'arrive pas du tout à avancer sur les 3 autres questions de la démonstration.
Si certains d'entre vous ont des idées, je vous mets ci-dessous les questions.
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Réponses
P1 a)b) Parce que $f$ continue sur le compact $[0,1]$ est uniformément continue.
P2 a) Utiliser $f^{-1}$ et une inclusion.
P2 b) Cela ressemble fort à une inégalité triangulaire pour une topologie métrique.
P2 c) Se déduit de b) par récurrence.
P2 d) Choisir d'abord $\lambda=\dfrac{p}{q}\in\mathbb{Q}$ puis utiliser la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$.
Merci AlainLyon pour ton aide, j'ai fait la même chose sauf pour la dernière question (P2 d) où j'ai utilisé la propriété qu'on vient de trouver et l'indication donnée dans la question.
J'ai fini par trouver la question 4 mais je bloque encore sur la 3. Je pense qu'il faut utiliser les calculs de la première question mais sans succès jusque là.