Aléas et Brouwer

EDIT : Pas besoin de lire ce post, je résume tout dans un message plus bas !

Bon, je suis pas sûr d'avoir bien compris. En général quand quelqu'un dit un entier rigolo, c'est un code social pour dire "pour tout $n$". Je vais proposer quelque chose.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans la boule. On considère la phrase $P_n$ qui dit :

pour tout $n$-uplet $(X_1,\cdots,X_n)$ de variables aléatoires indépendantes de même loi que $X$, alors $X$ et $f(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i)$ ont même loi.

Je vais démontrer, ci-dessous, que si $X$ vérifie $\forall n \in \mathbb{N}, \quad P_n$, alors $X$ est presque sûrement égale à un point fixe de $f$ (si juste $P_n$ pour un certain $n$, je ne sais pas).

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $\forall n \in \mathbb{N}, \quad P_n$.

Soit $\epsilon_1,\epsilon_2$ des réels strictement positifs. Par continuité de $f$ en $\mathbb{E}[X]$, soit $\delta >0$ tel que pour tout $x$, si $x$ est $\delta$-pas loin de $\mathbb{E}[X]$, alors $f(x)$ est $\epsilon_1$-pas loin de $f(\mathbb{E}[X])$.

D'après la loi faible des grands nombres, soit un entier $n$ tel que $\mathbb{P}[ \vert \frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i - \mathbb{E}[X] \vert > \delta) < \epsilon_2$. On a alors $\mathbb{P}[ \vert f(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i) - f(\mathbb{E}[X]) \vert > \epsilon_1) < \epsilon_2$.

Mais $f(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i)$ et $X$ ont même loi. Alors $\mathbb{P}[ \vert X - f(\mathbb{E}[X]) \vert > \epsilon_1) < \epsilon_2$. Ceci étant vrai pour tout $\epsilon_1,\epsilon_2$, alors $X$ est presque sûrement constante, presque sûrement égale à $f(\mathbb{E}[X])$. Mais une variable presque sûrement constante est aussi presque sûrement égale à son espérance. Donc $X$ est presque sûrement égale à un point fixe de $f$.

EDIT : Pas besoin de lire ce post, je résume tout dans un message plus bas !

Ben c'était pour le plaisir de rédiger, oui. Pour résumer, je prétends avoir démontré ci-dessus :
1) si $f$ a un point fixe, alors il y a une mesure de probabilité sur la boule qui est $n$-bonne pour tout entier $n$ (comme dans le post de marsup) ;
2) toute mesure de probabilité sur la boule qui est $n$-bonne pour tout $n$ est un Dirac sur un point fixe de $f$ ;
3) pour tout $n$, un argument de compacité permet de démontrer qu'il existe une mesure de probabilité $n$-bonne.

Comme mes arguments sont faciles, je tire la conclusion sociologique que
- soit je me suis trompé ;
- soit la phrase "il existe une probabilité $n$ bonne $\Rightarrow$ $f$ a un point fixe" n'est facile à démontrer (à supposer qu'elle soit vraie) pour aucun $n$, sans quoi ça donne une jolie démonstration facile du théorème, si on met ça bout à bout avec 3).

C'était pour essayer de comprendre ton problème, et "deviner" s'il y avait un "pour tout $n$" implicite.

En tout cas c'est pas chiant du tout à rédiger.

Christophe a écrit:

En tout cas, ça ne dit pas si elles existent, bien que leur existence soit intuitive (pluss que ne l'est Brouwer). On est d'accord, je t'ai bien suivi?

Mes arguments ne disent pas qu'il existe une mesure de probabilité $n$-bonne pour tout $n$, d'accord. Par contre, niveau intuition, ben... Je répète qu'une mesure de probabilité $n$-bonne pour tout $n$ est forcément une mesure de Dirac sur un point fixe. En gros, ton énoncé est quasiment égal à "il existe un point fixe". Donc... C'est vraiment vraiment aussi dur que Brouwer.

Non non c'est une expression que j'ai inventée sur ce fil !
Une probabilité $\mu$ est $(n,f)$-bonne si quand on prend un échantillon iid distribué selon $\mu$, qu'on en prend la moyenne puis qu'on la donne à manger à $f$, en sort une variable aléatoire de loi $\mu$.

EDIT : Dans ce post, je résume tout !

EDIT 2 : Erreur signalée par Christophe et Max. Elle ne m'a pas l'air d'être réparable...

Bon, je n'y comprends rien à ce fil...

Christophe : Qu'est-ce que c'est que cette histoire de $f$ qui va dans le bord de la boule ? Pardonne-moi mais j'ai l'impression que tu fais un mélange entre les deux énoncés équivalents "toute fonction continue $f : B \rightarrow B$ a un point fixe" et "il n'existe pas de fonction continue $g : B \rightarrow Bord(B)$ telle que $g$ restreinte à $Bord(B)$ est l'identité". Il y a au moins un de nos deux cerveaux qui doit disjoncter...

En outre, j'ai l'impression que tu ne lis ce que j'écris qu'en diagonale... Parce que dans ce que j'écris, j'énonce une réponse (peut-être erronée...) à tes questions et tu ne sembles pas réagir. Lis le truc en vert en bas de ce message.

Quant à toi, marsup, ben, es-tu d'accord que si $x$ est tel que $f(x) = x$, alors la mesure de Dirac en $x$ est $(n,f)$-bonne pour tout $n$ ? Si oui, tu ne vois toujours pas de rapport avec le théorème du point fixe ? Ou alors est-ce que je n'ai pas compris ce que tu n'as pas compris ?

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Récapitulation de ce que je prétends avoir démontré (je n'ai pas de prétention à l'originalité)

Soit $f$ une application continue $B \rightarrow B$. Soit $\mu$ une mesure de probabilité sur $B$. On note $v(\mu)$ la variance de $\mu$, c'est-à-dire, l'espérance de $\vert X - \mathbb{E}[X]\vert^2$ où $X$ est une variable aléatoire de loi $\mu$. Le nombre $v(\mu)$ est évidemment forcément inférieur ou égal à $4$.

Définition : Soit $\mu$ une mesure de probabilité sur la boule $B$. On dit que $\mu$ est $(n,f)$-bonne si
pour tout $n$-uplet $(X_1,\cdots,X_n)$ de variables aléatoires indépendantes de loi $\mu$, $f(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i)$ est de loi $\mu$.

Exemple : Si $x$ est un élément de $B$ tel que $f(x) = x$, alors soit $\mu$ la mesure de Dirac en $x$. Alors $\mu$ est $(n,f)$-bonne pour tout $n$ non nul. En effet, soit $(X_1,\cdots,X_n)$ un $n$-uplet de variables aléatoires indépendantes de loi $\mu$. Alors, presque sûrement, $\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i = x$ et donc $f(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i) = f(x) =x$ presque sûrement, donc la loi de $f(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i)$ est la mesure de Dirac en $x$, soit $\mu$.

Proposition : Soit $\epsilon >0$. Il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, pour toute mesure de probabilité $\mu$ qui est $(n,f)$-bonne, on a
$\mathbb{P}\left(\vert X - f(\mathbb{E}[X] \vert \geq \epsilon \right) \leq \frac{1}{n\delta^2}v(\mu)$.

Démonstration : Soit $\epsilon>0$. Soit (par le théorème de Heine) $\delta>0$ tel que pour tout $x,y \in B$, si $\vert x - y \vert < \delta$, alors $\vert f(x) - f(y)\vert < \epsilon$. Soit $n$ un entier non nul, $\mu$ une probabilité $(n,f)$-bonne et $X,X_1,\cdots X_n$ des variables aléatoires indépendantes de loi $\mu$.
Alors d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a $\mathbb{P}\left( \vert \frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i - \mathbb{E}[X] \vert \geq \delta \right) \leq \frac{1}{n\delta^2}v(\mu)$.
Maintenant, $\mathbb{P}\left( \vert f(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i) - f(\mathbb{E}[X])\vert \geq \epsilon \right) = \mathbb{P}\left( \vert X - f(\mathbb{E}[X])\vert \geq \epsilon \right)$ car on a supposé que $X$ et $f(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i)$ ont même loi. De plus, l'événement $\vert f(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i) - f(\mathbb{E}[X])\vert \geq \epsilon$ est inclus dans l'événement $\vert \frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i - \mathbb{E}[X] \vert \geq \delta$ qui a lui-même probabilité inférieure à $\frac{1}{n\delta^2}v(\mu)$ de se produire. Donc c'est bon.

Notation : Soit $PROBABROUWER(n,f)$ l'énoncé "il existe une mesure $(n,f)$-bonne". Soit $BROUWER(\epsilon,f)$ l'énoncé "il existe $x$ élément de $B$ tel que $\vert x - f(x) \vert < \epsilon$". Soit $BROUWER(f)$ l'énoncé "il existe $x$ élément de $B$ tel que $f(x) = x".

Corollaire : Si, pour tout $n$ entier non nul, $PROBABROUWER(n,f)$, alors pour tout $\epsilon$ strictement positif, $BROUWER(\epsilon,f)$.

Démonstration : Soit $\epsilon >0$. Soit $\delta$ comme dans la proposition d'avant mais appliquée à $\epsilon/2$. Soit $n$ tel que $\frac{4}{n \delta^2}< \epsilon/4$. Par hypothèse, il existe $\mu$ qui est $(n,f)$-bonne. Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\mu$. On va démontrer que l'espérance $\mathbb{E}[X]$ vérifie $\vert f(\mathbb{E}[X]) - \mathbb{E}[X] \vert < \epsilon$ (et ainsi, on aura démontré $BROUWER(\epsilon,f)$).

D'après la proposition précédente, $\mathbb{P}\left(\vert X - f(\mathbb{E}[X] \vert \geq \epsilon/2\right) \leq \frac{1}{n\delta^2}v(\mu) < \epsilon/4$.

Alors on a $\vert \mathbb{E}[X] - f(\mathbb{E}[X]) \vert \leq \mathbb{E}[\vert X - f(\mathbb{E}[X]) \vert] \leq \epsilon/2 + 2\epsilon/4 = \epsilon$.

Corollaire : Si, pour tout $n$ entier non nul, $PROBABROUWER(n,f)$, alors $BROUWER(f)$.

Démonstration : Par compacité, si pour tout $\epsilon$ strictement positif, $BROUWER(\epsilon,f)$, alors $BROUWER(f)$.

Proposition : On a, pour tout entier $n$ non nul, $PROBABROUWER(n,f)$.

Plan de démonstration (à vérifier, je vais me coucher, là) : Soit $M_n$ l'application qui à une mesure de probabilité $\mu$ sur $B$, associe la loi du barycentre de $n$ variables indépendantes de loi $\mu$. C'est-à-dire, $M_n(\mu)$ est la mesure de probabilité qui, à tout borélien $A$, associe $\mu^{\otimes n} \left( \{(x_1,\cdots,x_n) \in B^n \ \vert \ \frac{1}{n}\sum^n_{i=1} x_i \in A\}\right)$ où $\mu^{\otimes n}$ désigne la mesure produit de $\mu$ sur $B^n$.

Ensuite, posons $T_n := f_* \circ M_n$ (où, pour toute mesure $\nu$, $f_* \nu$ désigne la mesure image de $\nu$ par $f$, c'est-à-dire, $\forall A,\ f_* \nu (A) := \nu(f^{-1}(A))$).

- L'espace des mesures de probabilité sur $B$ est un convexe compact pour la topologie faible-$*$ (théorème de Banach-Alaoglu/Tychonoff ?).

- $T_n$ est linéaire [EDIT 2]C'est là l'erreur, ça ne l'est pas[/EDIT 2].

- $T_n$ est continue pour la topologie faible-$*$.

- Une mesure $\mu$ est $(n,f)$-bonne si et seulement si elle est un point fixe de $T_n$.

- Toute application linéaire d'un convexe compact dans lui-même a un point fixe (théorème de Markov-Kakutani).

Donc, pour tout $n$, il existe une mesure $(n,f)$-bonne.

Précision sur la démonstration du théorème vert : le théorème de Markov-Kakutani (je suis pas sûr du nom) dit que si $T$ est une application linéaire continue d'un convexe compact dans lui-même, alors $T$ a un point fixe. L'idée est : on part de $x$ dans le convexe compact, on considère la suite des moyennes $(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} T^ix)_{n \in \mathbb{N}}$ et par compacité il y a une valeur d'adhérence, qui est un point fixe par $T$. Ca n'utilise donc pas Brouwer, juste de la compacité.

Je n'ai pas encore vérifié les détails du reste de la démonstration du théorème vert.

Ok, ok ! S'cuse, j'étais un peu fatigué, hier soir, et j'avais l'impression d'être complètement à côté de la plaque sur tout !

Non, ça m'a même l'air faux ...
Prenons $n=2$ pour se simplifier la vie, alors (en voyant l'espace des mesures de probabilité comme un sous-espace de $C(B)^*$; je ne sais pas si c'est ce que GA entendait par là) (avec par exemple $f= id$ - même si c'est un exemple ridicule, si la preuve marche pour $f$ quelconque, elle marche pour $id$ :-D)

$T_2$ d'une forme linéaire générale $\ell$ est la forme linéaire $T_2(\ell)(f)= \ell (x \mapsto \ell( y\mapsto f(p(x,y))))$ où $p : B^2\to B$ est l'opérateur "moyenne".

De fait, $T_2(\ell_0 + \ell_1)$ va faire intervenir des "produits croisés" en plus de $T_2(\ell_0), T_2(\ell_1)$.

Peut-être que GA voulait voir les mesures de proba comme un sous-espace de l'ensemble des applications $Bor \to \mathbb R$, auquel cas $T_2(\ell)$ est la même chose qu'au dessus, mais en prenant $f= \mathbb{1}_A$, l'indicatrice du borélien $A$. A priori pas plus de raison que ce soit linéaire.

Par contre il y a peut-être moyen de s'arranger : au lieu de $\mu^{\otimes n}$ tu peux mettre $\mu_1\otimes ... \otimes \mu_n$, et dans ce cas, on a clairement quelque chose de $n$-linéaire; donc $T_n$ est de la forme "une application multilinéaire composée avec $\mu\mapsto (\mu,...,\mu)$" . Y a-t-il des théorèmes de point fixe pour ça ?

Je reprends :

on identifie les mesures de probabilités aux formes linéaires continues positives sur $C(B)$, qui envoient la fonction constante égale à $1$ sur $1$.

Je note $M(B,1,+)$ le sous-ensemble de $C(B)^*$ formé de telles formes linéaires (continues positives envoyant $1$ sur $1$). C'est un convexe.

Si $\mu$ est une mesure, et qu'on note encore $\mu$ la forme linéaire associée, on a, bien sûr, $\mu(h) = \int_B h d\mu$. La topologie faible-$*$ est la moins fine rendant les $\mu \mapsto \mu(h)$ continue. Pour cette topologie, $M(B,1,+)$ est compact.

Si $f : B \rightarrow B$ est continue, alors $f_* : \mu \mapsto \left( h \mapsto \mu(h \circ f) \right)$, définie sur $C(B)^*$, est bien une application linéaire continue et envoie $M(B,1,+)$ dans lui-même.

Soit $m_n : B^n \rightarrow B$ est l'application barycentre (et est continue). Alors $m_{n*}$ envoie toute mesure $\nu$ (sur $B^n$) sur la mesure $\mu$ (sur $B$) donnée par, pour toute fonction $h : B \rightarrow \mathbb{R}$ continue, $\mu(h) := \int_{B^n} f(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}x_i) d\nu(x_1,\cdots,x_n)$ et cette $m_{n*}$ est linéaire continue aussi.

Enfin, soit $\otimes^n$ l'application $C(B)^* \rightarrow C(B^n)^*$ donnée par $\otimes^n(\mu) := \mu \otimes \cdots \otimes \mu$.

Alors l'application dont j'ai prétendu qu'elle est linéaire continue et envoie $M(B,1,+)$ dans lui-même est :

$f_* \circ m_{n*} \circ \otimes^n$.

Le problème soulevé par Christophe et Max est le suivant : ça n'a pas de raison d'être linéaire... car $\otimes^n$ ne l'est pas ! :-(

PS : J'espère que tu apprécies, Christophe, que j'essaie de mettre le moins de trucs en indice/exposant pour te rendre la lecture plus facile :-D

Désolé Foys, je ne comprends pas ce que tu dis.

D'accord. C'est ce qu'il me semblait. C'est vraiment très intéressant.

Est-il recommandé que je remette ma démission de l'Éducation Nationale ?

Georges Abitbol a écrit:

(si les extrémités d'un segment sont fixes, alors le segment est tout entier fixe)

C'est vrai si la fonction en question est affine mais sinon?
Cet énoncé, spécialisé au cas où $f$ et $g$ sont affines, s'appelle le théorème de Markov-Kakutani (qui vaut en dimension infinie dans des evt quelconques d'ailleurs, ce qui est pratique pour montrer l'existence de mesures/moyennes invariantes).