Valeurs d'adhérence

Peut-être commencer par traduire ce que signifie que $a$ est valeur d’adhérence de $(x_n)_n$.
Avec des $\varepsilon$.
D’ailleurs je me demande si on a tous la même définition.

Bonjour,

Par définition (générale), tout voisinage de $a$ contient une infinité de termes de la suite.

Dans le cas métrique, on peut s'appuyer sur des bases dénombrables de voisinages :
On peut alors "construire" $\varphi$ par récurrence.
On fixe par exemple $\varphi\left(0\right)=0$, puis si $\varphi$ est construite jusqu'à $p\geq0$, on dit que la boule ouverte $B$ de centre $a$ et de rayon $\frac{1}{p+1}$ contient une infinité de termes de la suite, donc en particulier il existe un entier $m$ tel que $x_{m}\in B$ et $m>\varphi\left(p\right)$; on pose alors $\varphi\left(p+1\right)=m$.
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Admettons qu'il existe $\phi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ strictement croissante telle que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $d(x_{\phi(n)},a) < \frac{1}{n}$. Tu serais contente ?