Théorème de Sard

odile0502
odile0502
dans Topologie
Bonsoir
Je dois prouver que la sphère S^2 est simplement connexe en appliquant le théorème de Sard

La suggestion de l'énoncé est la suivante : 1) Trouver f, application de S^1 à valeurs dans S^k, k>1.
2) Le théorème de Sard donne alors un point p n'appartenant pas à f(S^1).
3) Utiliser la projection stéréographique.
Merci.

[Même dans le titre Arthur Sard (1909-1980) prend toujours une majuscule. AD]

Réponses

  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Eh bien, vas-y ! Où bloques-tu ? Es-tu sûre d'avoir bien recopié la question $1$ ? Elle me paraît bizarre.
  • odile0502
    odile0502
    Bonjour ,

    Oui la question est parfaitement recopiée .
    S^1 est le cercle unité . S^k sont des sphères .

    Je bloque pour l' application f à trouver entre les 2
  • christophe c
    christophe c
    Pense aux cartes de la planète Terre dessinées sur un plan. Si tu enlèves UNE SEUL point, tu te retrouves avec un plan
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Euh... Ca te paraît dur, comme question, "trouver une application de $E$ dans $F$" ? Est-ce qu'une question comme "trouver un entier naturel" te paraîtrait dure ?

    Est-ce qu'il n'y a rien d'implicite avant ces indications ?
  • marsup
    marsup
    Dit comme ça, c'est un peu faux.

    Un lacet continu $f:S^1 \to S^2$ peut très bien être surjectif. En revanche, il est homotope à un lacet dérivable proche $\tilde f$ qui n'est donc pas surjectif. Et évidemment un lacet qui n'est pas surjectif est contractile.
  • odile0502
    odile0502
    Bonjour Christophe

    L a sphère est donc homéomorphe au plan mais là je cherche une fonction entre le cercle et une sphère quelque soit sa dimension supérieure ou égale à 2 .

    C' est là que je bloque

    Excusez moi , je découvre ces notions
  • marsup
    marsup
    Le problème, c'est que l'énoncé des questions que tu as recopiées ne démontre absolument pas que la sphère est simplement connexe.

    Soit on répond aux questions que tu as posées, soit on répond à l'objectif annoncé (la simple connexité).
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    odile a écrit:
    L a sphère est donc homéomorphe au plan

    Non, c'est faux. La sphère privée d'un point est homéomorphe au plan.
  • odile0502
    odile0502
    Marsup , j' avais répondu en évoquant les recouvrements.

    S^2 peut être recouverte par 2 calottes sphériques qui sont homéomorphes à un carré.

    Leur intersection est une bande , voisinage de l' équateur, donc connexe

    Le prof m'a a répondu qu' il voulait l' utilisation du théorème de Sard.

    Du coup il a donné ces 3 indications

    Il me faut trouver une fonction f entre le cercle et S^2 et des points critiques de cette fonction
  • odile0502
    odile0502
    Re Marsup ,

    Je pensais à un lacet qui entoure la sphère

    Selon la manière d'entourer la sphère , il y aura un endroit de la sphère où on ne voit pas le lacet car il est " trop court". Excusez moi , je ne m'exprime pas bien

    Et là le théorème de Sard vient à notre secours . Non?
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    @odile : Désolé mais ton prof a parlé un peu vite. Cette affaire de "trouver une application" n'a aucun rapport avec la simple connexité de quoi que ce soit !

    Est-ce que tu peux préciser ton but ? Marsup te l'a demandé, déjà : veux-tu démontrer que les sphères, en dimension supérieure ou égale à $2$, sont simplement connexes ? Si oui, sais-tu ce que ça veut dire "simplement connexe" ?
  • marsup
    marsup
    Je pense que le prof a l'idée suivante.

    Montrer que toute application régulière (selon la version du théorème de Sard dont on dispose) $S^1 \to S^2$ est contractile.

    Mais évidemment, si on ne part pas de $\forall$ application, mais de $\exists$ application, ça n'a guère d'intérêt.

    Après, l'extension aux lacets seulement continus est assez technique, ce n'est pas bien grave si on l'admet.
  • odile0502
    odile0502
    @Georges Abitbol, pour moi un espace connexe est " d'un seul tenant " et un espace simplement connexe est d'un seul tenant et sans trou ni point anguleux.

    @marsup, comment montrer que toute application lisse de S^1 vers S^2 est contractile ?

    Je sais que je suis pénible mais je rame.
  • marsup
    marsup
    Précisément, par le lemme de Sard !!
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    odile : Tu n'es pas pénible, c'est juste que j'ai l'impression que tu es pressée et ne cherches pas à comprendre en profondeur. Ta définition intuitive de la simple connexité est fausse (qu'est-ce que c'est que cette histoire de "point anguleux" ?).

    Je pense que tu ne te rends pas service d'étudier de cette façon.

    Tu n'as toujours pas dit quel était ton but.
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Bonjour odile,
    Pour montrer qu'une variété $V$ (ou un espace topologique connexe par arcs) est simplement connexe, il faut montrer que tout lacet continu $S^1\to V$ est homotope à un point.
    Dans le cas des variétés $C^\infty$, on peut montrer qu'il suffit de le faire pour les lacets $C^\infty$ avec des homotopies de classe $C^\infty$.
    Ainsi, dans le cas qui t'intéresse, un tel lacet est une application lisse $f\colon S^1\to S^2$ (ou à valeurs dans $S^k$ si tu veux traiter ça en toute généralité, les projections stéréographiques existent aussi lorsque $k>2$).
    Le fait de passer par des lacets lisses nous permet d'éviter de traiter le cas des courbes de Peano (lacets continus qui remplissent toute la sphère).
    Ainsi, il ne s'agit pas de trouver $f$ mais de dire : si je prends n'importe quelle $f\colon S^1\to S^2$ lisse, est-ce que je peux montrer que $f$ est homotope à un point ?
    Le théorème de Sard te permet de prouver que $f(S^1)$ n'est pas tout $S^2$, donc il y a au moins un point de la sphère par lequel le lacet ne passe pas.
    Il faut ensuite utiliser une projection stéréographique qui va avoir pour effet d'envoyer ton lacet sur un autre lacet (vivant dans un autre espace) dont il va être plus facile de démontrer qu'il est homotope à un point. On revient alors sur la sphère pour construire l'homotopie voulue.
  • odile0502
    odile0502
    Bonsoir,
    Je viens répondre seulement maintenant à Georges Abitbol et à Philippe Malot car j'attendais la réponse d'un autre étudiant qui a demandé plus d'indications à notre professeur.

    C'est exactement ce que Philippe dit qu'il faut faire !

    J'étais embêtée car Georges Abitbol m'a demandé plusieurs fois mon objectif mais j'avais recopié fidèlement l'énoncé de mon professeur et je ne voyais pas quoi dire de plus. D'où l'impression de Georges que j'étais pressée sans aller au fond des choses. C'est certainement vrai mais j'avais le sentiment de ne pas me faire comprendre alors qu'on cherchait à m'aider.
    Merci à tous.

    [En typographie, on ne met jamais d'espace avant un point, mais toujours après, puis une majuscule pour la nouvelle phrase qui débute. AD]
  • marsup
    marsup
    Ouf ! On avait failli avoir peur, mais finalement, tout est bien qui se finit bien. :-)
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