Bonjour, je veux montrer que si $\alpha \in \mathbb{R^{+}\setminus Q}$ l'ensemble $\mathbb{N ^{*} + \alpha Z} = \{n+ \alpha q \mid (n,q) \in \mathbb{N^{*} \times Z}\}\ $ est dense dans $\mathbb{R}$.
Quelques astuces s'il vous pl
aît pour commencer l'exercice . Merci
!
Réponses
Si tu tapes "sous-groupe de R" dans ton moteur de recherche favori, tu devrais trouver ton bonheur, car c'est une question plutôt classique.
Voici une astuce : que donne l'algorithme d'Euclide (celui pour trouver le pgcd) appliqué au couple $1,\alpha$, si $\alpha$ est irrationnel ?
Ce que tu demandes est vachement plus facile que ce que tu as déjà montré !
On a : $$\underbrace{\Z + a \Z}_{\text{dense}} = (\N^* + a \Z) \cup \underbrace{(a\Z)}_{\text{discret}} \cup \big[- (\N^* + a \Z) \big]$$ en réunion disjointe.
Après, ça me crève tellement les yeux que je ne vais pas me risquer à rédiger une démonstration.
On fixe $x$ dans $\R$ et $\epsilon>0$. On trouve $p_0,q_0\in\Z$ tel que $|x-p_0-q_0\alpha|\le\epsilon$. Si $p_0>0$ c'est gagné. Sinon, parmi les $(p,q)\in\Z^2$ tels que $|p+q\alpha|\le\epsilon$, il n'y en a qu'un nombre fini tels que $|p|\le p_0$ (il n'y a qu'un nombre fini de $p$ possibles et pour $p$ donné, on peut majorer $|q|$, sous peine que $p+q\alpha$ sorte de l'intervalle prescrit). Or il y a une infinité de $(p,q)$ possibles (sinon $G$ ne serait pas dense). On peut donc choisir $(p_1,q_1)$ avec $|p_1|\ge p_0$ et, quitte à le remplacer par $(-p_1,-q_1)$, on peut imposer $p_1\ge p_0$. Alors $\bigl|x-(p_0+p_1)-(q_0+q_1)\alpha\bigr|\le2\epsilon$ et c'est gagné.
Entre $\pm (\N^* + \alpha \Z)$, l'un des deux est dense en $0$ dans $\R_{+}^*$.
Comme ils sont stables par addition, celui-là est dense dans $\R_{+}^*$.
Comme les deux adhèrent à $-\infty$, celui-là est dense dans $\R$.
Donc l'autre aussi par symétrie. Donc c'est bon.
(1) $S=\mathbb R$ ;
(2) $S=\mathbb Z a$, $ a \in \mathbb R_+^*$ ;
(3) $S$ dense, d'intérieur vide.
$\bullet$ Un sous-groupe additif $G$ de $\mathbb R$ est de l'un des quatre types :
(1) $G=\{0 \}$ ;
(2) $G=\mathbb R$ ;
(3) $G=\mathbb Z a$, $a \in \mathbb R_+^*$ ;
(4) $G$ dense, d'intérieur vide.
- soit dense dans $\mathbb{R}$ avec la topologie de la valeur absolue ;
- soit $a\mathbb{Z}$ avec $a\in\mathbb{R}$.
Bonjour, en effet je l'ai déjà fait mais je ne vois pas comment cela m'aide, et je n'ai pas bien compris les réponses précédentes puisque elles utilisent des notions qu'on n'a pas encore abordé en cours, j'ai essaie de travailler l'exercice avec les notions vues en mpsi. Merci encore une fois pour toutes vos réponses :-)