Partie dense de R

Bonjour,

Si tu tapes "sous-groupe de R" dans ton moteur de recherche favori, tu devrais trouver ton bonheur, car c'est une question plutôt classique.

Il faut évidemment utiliser la densité de $G=\Z+\alpha\Z$ !

On fixe $x$ dans $\R$ et $\epsilon>0$. On trouve $p_0,q_0\in\Z$ tel que $|x-p_0-q_0\alpha|\le\epsilon$. Si $p_0>0$ c'est gagné. Sinon, parmi les $(p,q)\in\Z^2$ tels que $|p+q\alpha|\le\epsilon$, il n'y en a qu'un nombre fini tels que $|p|\le p_0$ (il n'y a qu'un nombre fini de $p$ possibles et pour $p$ donné, on peut majorer $|q|$, sous peine que $p+q\alpha$ sorte de l'intervalle prescrit). Or il y a une infinité de $(p,q)$ possibles (sinon $G$ ne serait pas dense). On peut donc choisir $(p_1,q_1)$ avec $|p_1|\ge p_0$ et, quitte à le remplacer par $(-p_1,-q_1)$, on peut imposer $p_1\ge p_0$. Alors $\bigl|x-(p_0+p_1)-(q_0+q_1)\alpha\bigr|\le2\epsilon$ et c'est gagné.

$\bullet$ Une partie $S$ de $\mathbb R$, additivement stable, qui contient un réel strictement positif et un réel strictement négatif, est de l'un des trois types :
(1) $S=\mathbb R$ ;
(2) $S=\mathbb Z a$, $ a \in \mathbb R_+^*$ ;
(3) $S$ dense, d'intérieur vide.

$\bullet$ Un sous-groupe additif $G$ de $\mathbb R$ est de l'un des quatre types :
(1) $G=\{0 \}$ ;
(2) $G=\mathbb R$ ;
(3) $G=\mathbb Z a$, $a \in \mathbb R_+^*$ ;
(4) $G$ dense, d'intérieur vide.