Produit d'espaces métriques

odile0502
odile0502
dans Topologie
Bonjour
Je dois prouver qu'un produit d'espaces métriques finis est séquentiellement compact
en sachant que chaque espace est muni de la topologie discrète.

On trouve ce type de démonstration dans des cours de topologie.
Mais le fait que chaque espace soit de topologie discrète change-t-il la démonstration ?
Merci beaucoup.

[Odile, quand tu corriges tes messages, ne réintroduis pas les fautes déjà corrigées ! :-X AD]

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Non, toute topologie sur un ensemble fini est compacte !
  • raoul.S
    raoul.S
    @Poirot je crois qu'odile0502 doit montrer que le produit (quelconque) d'espace finis discrets est compact.
  • Poirot
    Poirot
    Je sais. La question était de savoir si prendre une topologie autre que la topologie discrète sur nos ensembles finis changeait quelque chose, ce à quoi je réponds non puisqu'ils sont automatiquement compacts (et on conclut par Tychonoff).
  • odile0502
    odile0502
    Merci

    En fait Poirot , la topologie de chaque espace qui compose le produit est discrète . Que se passe-t- il pour la compacité du produit des espaces ?

    Déjà je me posais la question de savoir si la topologie du produit était encore discrète ?

    Merci
  • Poirot
    Poirot
    Tu n'as pas compris mes messages. Je me répète, quelles que soient les topologies sur tes espaces finis, leur produit sera compact (théorème de Tychonoff). Par contre le produit est discret si et seulement si chaque topologie est discrète et le produit porte sur un nombre fini d'espaces.
  • odile0502
    odile0502
    Merci beaucoup Poirot
  • Poirot
    Poirot
    J'ai ajouté un edit, mon précédent message disait "discret" à deux reprises. Le théorème de Tychonoff concerne bien sûr la compacité.
  • christophe c
    christophe c
    est séquentiellement compact

    L'énoncé est faux, il te faut enlever l'adverbe séquentiellement.

    Un espace métrique fini est FORCEMENT discret.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    Christophe, Odile demande si la compacité est préservée si on généralise à des espaces topologiques finis quelconque. Tu as bien sûr raison pour le caractère séquentiel cependant.
  • christophe c
    christophe c
    Merci Poirot, je n'ai lu que le premier post, où d'ailleurs, je vois:
    Odile a écrit:
    Mais le fait que chaque espace soit de topologie discrète change-t-il la démonstration ?

    Euu à me connaissance, non, pas substantiellement. Mais je réponds à la volée. Sur les plan des axiomes*** mobilisés, il y a du changement, mais pas sur la nature (longueur, complexité, idée) des preuves.

    *** pas besoin du plein axiome du choix (l'axiome du l'ultrafiltre strictement plus faible, suffit (autrement dit, l'analyse non standard suffit)) pour les espaces séparés (qui plus est discrets). Mais "discret + fini" n'arrange pas spécialement les choses.

    Même si chaque espace possède deux éléments, on ne gagne pas grand chose. Un exemple "serpent de mer" est le suivant:

    Relation d'équivalence $(A,B)\mapsto $ [$A==B$ si leur différence symétrique est finie]. Définie pour les parties de $\N$.
    Et bien la difficulté de choisir un élément dans chaque $\{classe(X), Classe(\N\setminus X)\}$ est aussi gigantesque quasiment que le théorème lui-même ici concerné.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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