Produit d'espaces métriques
Bonjour
Je dois prouver qu'un produit d'espaces métriques finis est séquentiellement compact
en sachant que chaque espace est muni de la topologie discrète.
On trouve ce type de démonstration dans des cours de topologie.
Mais le fait que chaque espace soit de topologie discrète change-t-il la démonstration ?
Merci beaucoup.
[Odile, quand tu corriges tes messages, ne réintroduis pas les fautes déjà corrigées ! :-X AD]
Je dois prouver qu'un produit d'espaces métriques finis est séquentiellement compact
en sachant que chaque espace est muni de la topologie discrète.
On trouve ce type de démonstration dans des cours de topologie.
Mais le fait que chaque espace soit de topologie discrète change-t-il la démonstration ?
Merci beaucoup.
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Réponses
En fait Poirot , la topologie de chaque espace qui compose le produit est discrète . Que se passe-t- il pour la compacité du produit des espaces ?
Déjà je me posais la question de savoir si la topologie du produit était encore discrète ?
Merci
L'énoncé est faux, il te faut enlever l'adverbe séquentiellement.
Un espace métrique fini est FORCEMENT discret.
Euu à me connaissance, non, pas substantiellement. Mais je réponds à la volée. Sur les plan des axiomes*** mobilisés, il y a du changement, mais pas sur la nature (longueur, complexité, idée) des preuves.
*** pas besoin du plein axiome du choix (l'axiome du l'ultrafiltre strictement plus faible, suffit (autrement dit, l'analyse non standard suffit)) pour les espaces séparés (qui plus est discrets). Mais "discret + fini" n'arrange pas spécialement les choses.
Même si chaque espace possède deux éléments, on ne gagne pas grand chose. Un exemple "serpent de mer" est le suivant:
Relation d'équivalence $(A,B)\mapsto $ [$A==B$ si leur différence symétrique est finie]. Définie pour les parties de $\N$.
Et bien la difficulté de choisir un élément dans chaque $\{classe(X), Classe(\N\setminus X)\}$ est aussi gigantesque quasiment que le théorème lui-même ici concerné.