Immersion de la sphère dans le plan

Bonjour

Tu as utilisé le fait que c'est une immersion quand tu as affirmé que la fonction est ouverte. Tu as une faute de frappe: c'est donc tout $\R^{2}$...

Bonsoir, Une immersion $f$ entre variétés de même dimension est ouverte, oui : pour tout point $a$ de la première variété, la restriction de $f$ à un voisinage ouvert suffisamment petit de $a$ est un difféomorphisme sur un voisinage ouvert de $f(a)$ ($f$ est un difféomorphisme local).
Le fait que les dimensions soient les mêmes est crucial.

Il s'agit d'applications de $S^2$ muni de sa topologie de variété, donc $S^2$ est un ouvert dans lui-même. En dimension finie, en effet, une submersion qui est aussi une immersion entre des espaces de même dimension, est bien un difféomorphisme local. Mais ce n'est pas forcément un homéomorphisme de l'espace de départ sur l'image.
Exemple classique: Soit $\Gamma$ l'image de $f:\R\to \R^2$ définie par $f(t)=\left(\dfrac{t}{1+t^2},\dfrac{1}{1+t^2}\right)$. C'est bien un difféomorphisme local de $\R$ sur $\Gamma$, mais ce n'est même pas un homéomorphisme.

Avec plaisir.