Immersion de la sphère dans le plan
Bonjour
Je cherche à démontrer qu'il n'existe pas d'immersion de $S^2$ dans $\mathbb{R}^2$. J'ai trouvé la démonstration suivante, mais je ne la comprends pas. Pouvez-vous m'aiguiller s'il vous plaît ?
" Soit $f$ une immersion de $S^2$ dans $\mathbb{R}^2$. Son image est alors ouverte (par le théorème d'inversion locale) et fermée (par compacité). C'est donc tout $\mathbb{R}^2$ (par connexité), ce qui est absurde par compacité. "
Notamment, je ne comprends pas à quel moment on a utilisé le fait que $f$ était une immersion.
Merci d'avance et bon dimanche !
Je cherche à démontrer qu'il n'existe pas d'immersion de $S^2$ dans $\mathbb{R}^2$. J'ai trouvé la démonstration suivante, mais je ne la comprends pas. Pouvez-vous m'aiguiller s'il vous plaît ?
" Soit $f$ une immersion de $S^2$ dans $\mathbb{R}^2$. Son image est alors ouverte (par le théorème d'inversion locale) et fermée (par compacité). C'est donc tout $\mathbb{R}^2$ (par connexité), ce qui est absurde par compacité. "
Notamment, je ne comprends pas à quel moment on a utilisé le fait que $f$ était une immersion.
Merci d'avance et bon dimanche !
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Réponses
Tu as utilisé le fait que c'est une immersion quand tu as affirmé que la fonction est ouverte. Tu as une faute de frappe: c'est donc tout $\R^{2}$...
Je ne comprends pas vraiment cela dit : une immersion est nécessairement une application ouverte ?
Le fait que les dimensions soient les mêmes est crucial.
Par ailleurs je sais qu’une submersion est ouverte, et donc je me demandais si le fait qu’on a deux espaces de même dimension implique dans ce contexte qu’une immersion est également une submersion (parce qu’une application linéaire injective (la différentielle) est également surjective quand l’espace d’arrivée est de même dimension que l’espace de départ).
Et enfin, pourquoi l'image de $S^2$ par $f$ serait ouverte (quand bien même $f$ serait une application ouverte), puisque $S^2$ n'est pas un ensemble ouvert ?
Exemple classique: Soit $\Gamma$ l'image de $f:\R\to \R^2$ définie par $f(t)=\left(\dfrac{t}{1+t^2},\dfrac{1}{1+t^2}\right)$. C'est bien un difféomorphisme local de $\R$ sur $\Gamma$, mais ce n'est même pas un homéomorphisme.