Quotient par un idéal discret
Bonjour ,
Si on quotiente un anneau topologique A par un idéal I . On a toujours la topologie quotient telle que U un sous- ensemble de A/I est ouvert si (pi)^-1 de U est un ouvert de A.
On me demande de prouver que la topologie quotient coïncide avec la topologie discrète si et seulement si I , l' idéal est à la fois ouvert et fermé.
Je sais que la topologie discrète est celle où tous les singletons sont ouverts mais je n' arrive pas à l' appliquer ici.
Merci beaucoup
Si on quotiente un anneau topologique A par un idéal I . On a toujours la topologie quotient telle que U un sous- ensemble de A/I est ouvert si (pi)^-1 de U est un ouvert de A.
On me demande de prouver que la topologie quotient coïncide avec la topologie discrète si et seulement si I , l' idéal est à la fois ouvert et fermé.
Je sais que la topologie discrète est celle où tous les singletons sont ouverts mais je n' arrive pas à l' appliquer ici.
Merci beaucoup
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Y a-t-il un cours que vous connaissez qui explique cela en détail ?
Merci du temps que vous passez pour moi Poirot.
Commençons par le premier point : c'est quoi $\pi^{-1}(\{0_{A/I}\})$ ?
Je me doute que vous, vous êtes comme des poissons dans l'eau dans ces notions.
En te citant (et ajoutant en gras un petit quelque chose) :
suivi de
et enfin
Seconde citation : $\{0_{A/I}\}$ est ouvert.
Première citation : Si $U \subset A/I$ est ouvert, alors $\pi^{-1}(U)$ est ouvert.
Troisième citation : $\pi^{-1}(\{0_{A/I}\}) = I$.
Ensuite, je t'ai donné du grain à moudre dans ce message : un sous-groupe ouvert d'un groupe topologique, a fortiori un idéal ouvert d'un anneau topologique, est fermé.
Comme le complémentaire de l' idéal I est la réunion des xI pour x appartenant à A/I
Mais chaque xI est ouvert car la translation est continue et une réunion d' ouverts est un ouvert.
Donc le complémentaire de I est ouvert donc I est fermé .
Donc on a bien I ouvert ET fermé .
Est ce correct ?
Voilà une implication prouvée, sais-tu faire le sens réciproque maintenant ?
Donc si I est ouvert , toute classe d' équivalence est ouverte et les points de A/I sont ouverts.
Donc A/I est muni de la topologie discrète
Il faut prouver que A/I est séparé. C' est ça ?
On a I est fermé . Soient x' et y' deux points distincts de A/I et x et y de A tels que pi(x)=x et pi(y)=y
Alors x et y ne sont pas équivalents , x n' appartient pas à yI fermé.
Il existe un ouvert U contenant l' élément neutre
avec Ux inter Uy vide et un ouvert V contenant l' élément neutre tel que VxV inclus dans U
Alors V^2xI inter yI vide et VxI inter VyI vide
Donc pi(VxI) et pi(VyI) contiennent respectivement x' et y' sont ouverts car pi est ouverte et sont disjoints par construction .