Compacité et graphe

Si $E$ et $F$ sont des espaces métriques, la caractérisation séquentielle de la continuité de $f$ s'applique bien. A noter que le graphe est compact.

Grillé par MrJ

D'une part la séparation ne joue aucun rôle (sauf erreur), d'autre part ce n'est pas vrai que dans les espaces métriques, il est suffisant que $F$ soit quasicompact.

Le mieux serait de dire qui sont $E$ et $F$ : espaces métriques ?

Nora-math a écrit:

comment déduire que $(f(x_n))$ converge vers $f(x)$ ?

Suppose que ce n'est pas le cas, il existe alors un boule centrée en $f(x)$ etc.

Au temps pour moi : j'ai écrit sans réfléchir fermé dans compact ; ben non, c'est dans $E\times F$. (td)

Effet secondaire de la seconde dose ?

Il faut que tu utilises ce que tu as écris et la compacité de $F$ pour en déduire qu’il existe une suite $(u_n)$ dans $E$ qui converge vers $x$ et telle que $(f(u_n))$ converge vers un élément $y\neq f(x)$. Tu pourras en déduire une contradiction avec l’hypothèse que le graphe est fermé.

Tu as fais exactement ce que je te suggérais : ma suite $(u_n)$ est ta sous-suite $(x_{n_l})$. J’essayais de rester un peu vague.

Je n'apporte pas grand-chose à la démo qui est correcte, mais juste pourquoi passer ici par un raisonnement par l'absurde ?

On note $\:\begin{array}[t]{cccl} \psi\::&E&\longrightarrow &E\times F\\ &x&\longmapsto&\left(x,f\left(x\right)\right)\end{array}$. $Im\psi$ est un fermé par hypothèse.

On se fixe $x\in E$, et on considère une suite de $\left(x_{n}\right)$ de $E$ convergeant vers $x$.

$F$ est compact, donc il existe une suite extraite de $f\left(x_{n}\right)$ : $f\big(x_{\varphi\left(n\right)}\big)$, qui converge vers $\mu\in F$.

Comme la suite $\big(x_{\varphi\left(n\right)}\big)$ converge vers $x$, la suite $\big(x_{\varphi\left(n\right)},f\big(x_{\varphi\left(n\right)}\big)\big)$ converge vers $\left(x,\mu\right)$ ; or cette suite est dans $Im\psi$ qui est fermé, donc sa limite $\left(x,\mu\right)\in Im\psi$, et donc $\mu=f\left(x\right)$.
Ainsi, la suite $f\left(x_{n}\right)$ possède une unique valeur d'adhérence : $f\left(x\right)$, donc converge vers $f\left(x\right)$.
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Nora, oui de manière sous-jacente tu as raison, je pensais qu'il t'était acquis que dans un compact une suite converge ssi elle possède au plus une valeur d'adhérence...