Bonjour, j'ai une fonction $f: E\to F$ avec $F$ compact et le graphe de $f\ : G_f=\{(x,f(x))\mid x\in E\}$ est fermé. Comment montrer que $f$ est continue s'il vous plaît ?
D'une part la séparation ne joue aucun rôle (sauf erreur), d'autre part ce n'est pas vrai que dans les espaces métriques, il est suffisant que $F$ soit quasicompact.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Soit $(x_n)$ converge vers $x$et on montre que $f(x_n)$ converge vers f(x).
$f(x_n)$ est une suite de F compact alors elle admet une sous suite $(f(x_{n_k}))$ qui converge vers y
on a $(x_{n_k})$ converge vers x donc $(x_{n_k},f(x_{n_k})$ est une suite du graphe convergente vers $(x,y)$ mais comme le graphe est fermé je déduis que y=f(x).
comment déduire que $(f(x_n))$ converge vers $f(x)$ ?
j'ai trouvé qu'une sous suite converge vers $f(x)$ pas la suite complete
Je précise mon post, je ne venais pas "me plaindre" de l'absence de précision, je venais affirmer que pour tout espace topologique $E$ et tout espace topologique $F$ quasicompact, l'énoncé est vrai.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Si je suppose que $(f(x_n))$ ne converge pas vers $f(x)$, c'est-à-dire
$$
\exists \varepsilon >0,\ \forall n_0\in\mathbb{N},\ \exists n\geq n_0, \qquad d(f(x_n),f(x))\geq\varepsilon.
$$ Cela veut dire qu'il existe une boule $B(f(x),\varepsilon)$ telle que $f(x_n)\notin B(f(x),\varepsilon)$.
Il faut que tu utilises ce que tu as écris et la compacité de $F$ pour en déduire qu’il existe une suite $(u_n)$ dans $E$ qui converge vers $x$ et telle que $(f(u_n))$ converge vers un élément $y\neq f(x)$. Tu pourras en déduire une contradiction avec l’hypothèse que le graphe est fermé.
J'ai trouvé que $f(x_n)$ admet une sous-suite qui converge vers $f(x)$. Maintenant il faut que je montre que $f(x_n)$ converge vers $f(x)$, je n'ai pas compris comment utiliser les boules ???
Si je suppose que $(f(x_n)$ ne converge pas vers $f(x)$ c'est-à-dire qu'il existe une sous-suite $f(x_{n_l})$ qui converge vers $z\neq f(x)$,
mais $x_{n_l}$ converge vers $x$ alors la suite $(x_{n_l},f(x_{n_l}))$ est une suite du graphe qui converge vers $(x,z)$ alors $z=f(x)$ contradiction.
Je n'apporte pas grand-chose à la démo qui est correcte, mais juste pourquoi passer ici par un raisonnement par l'absurde ?
On note $\:\begin{array}[t]{cccl} \psi\::&E&\longrightarrow &E\times F\\ &x&\longmapsto&\left(x,f\left(x\right)\right)\end{array}$. $Im\psi$ est un fermé par hypothèse.
On se fixe $x\in E$, et on considère une suite de $\left(x_{n}\right)$ de $E$ convergeant vers $x$.
$F$ est compact, donc il existe une suite extraite de $f\left(x_{n}\right)$ : $f\big(x_{\varphi\left(n\right)}\big)$, qui converge vers $\mu\in F$.
Comme la suite $\big(x_{\varphi\left(n\right)}\big)$ converge vers $x$, la suite $\big(x_{\varphi\left(n\right)},f\big(x_{\varphi\left(n\right)}\big)\big)$ converge vers $\left(x,\mu\right)$ ; or cette suite est dans $Im\psi$ qui est fermé, donc sa limite $\left(x,\mu\right)\in Im\psi$, et donc $\mu=f\left(x\right)$.
Ainsi, la suite $f\left(x_{n}\right)$ possède une unique valeur d'adhérence : $f\left(x\right)$, donc converge vers $f\left(x\right)$. .
@Nora-math l'idée de la boule c'est juste le même argument que tu as utilisé : si $(f(x_n)$ ne converge pas vers $f(x)$ alors il existe une boule centrée en $f(x)$ et une sous-suite $f(x_{n_l})$ extérieure à cette boule qui converge vers $z$ et donc $z\neq f(x)$... rien de particulier.
@Zig il me semble que tu utilises également un raisonnement par l'absurde en effet tu dis Ainsi, la suite $f\left(x_{n}\right)$ possède une unique valeur d'adhérence : $f\left(x\right)$, donc converge vers $f\left(x\right)$.
Mais pour démontrer cette affirmation tu dois bien supposer que $f\left(x_{n}\right)$ ne converge pas vers $f\left(x\right)$ ou bien un truc m'échappe ?
Nora, oui de manière sous-jacente tu as raison, je pensais qu'il t'était acquis que dans un compact une suite converge ssi elle possède au plus une valeur d'adhérence...
Juste pour faire écho à ce qu'à écrit Christophe: si $F$ est quasi-compact alors la première projection $E\times F\to E$ est une application fermée. Ainsi, si $G_f$ est un fermé de $E\times F$, la restriction $p_1: G_f\to E$ de la première projection est une bijection fermée donc un homéomorphisme. Comme $f=p_2\circ p_1^{-1}$, où $p_2:G_f\to F$ désigne la restriction de la seconde projection, il s'ensuit que $f$ est continue.
Réponses
Grillé par MrJ
> A noter que le graphe est compact.
C'est faux : $\sin : \left]0, 2\pi\right[ \to [-1,1]$.
$f(x_n)$ est une suite de F compact alors elle admet une sous suite $(f(x_{n_k}))$ qui converge vers y
on a $(x_{n_k})$ converge vers x donc $(x_{n_k},f(x_{n_k})$ est une suite du graphe convergente vers $(x,y)$ mais comme le graphe est fermé je déduis que y=f(x).
comment déduire que $(f(x_n))$ converge vers $f(x)$ ?
j'ai trouvé qu'une sous suite converge vers $f(x)$ pas la suite complete
Merci
Suppose que ce n'est pas le cas, il existe alors un boule centrée en $f(x)$ etc.
Effet secondaire de la seconde dose ?
$$
\exists \varepsilon >0,\ \forall n_0\in\mathbb{N},\ \exists n\geq n_0, \qquad d(f(x_n),f(x))\geq\varepsilon.
$$ Cela veut dire qu'il existe une boule $B(f(x),\varepsilon)$ telle que $f(x_n)\notin B(f(x),\varepsilon)$.
Comment déduire la contradiction ?
J'ai trouvé que $f(x_n)$ admet une sous-suite qui converge vers $f(x)$.
Maintenant il faut que je montre que $f(x_n)$ converge vers $f(x)$, je n'ai pas compris comment utiliser les boules ???
Si je suppose que $(f(x_n)$ ne converge pas vers $f(x)$ c'est-à-dire qu'il existe une sous-suite $f(x_{n_l})$ qui converge vers $z\neq f(x)$,
mais $x_{n_l}$ converge vers $x$ alors la suite $(x_{n_l},f(x_{n_l}))$ est une suite du graphe qui converge vers $(x,z)$ alors $z=f(x)$ contradiction.
Est-ce que cette preuve est juste ?
Merci
Quelqu'un peut m'expliquer l'idée de la boule ?
Bonne journée
On note $\:\begin{array}[t]{cccl} \psi\::&E&\longrightarrow &E\times F\\ &x&\longmapsto&\left(x,f\left(x\right)\right)\end{array}$. $Im\psi$ est un fermé par hypothèse.
On se fixe $x\in E$, et on considère une suite de $\left(x_{n}\right)$ de $E$ convergeant vers $x$.
$F$ est compact, donc il existe une suite extraite de $f\left(x_{n}\right)$ : $f\big(x_{\varphi\left(n\right)}\big)$, qui converge vers $\mu\in F$.
Comme la suite $\big(x_{\varphi\left(n\right)}\big)$ converge vers $x$, la suite $\big(x_{\varphi\left(n\right)},f\big(x_{\varphi\left(n\right)}\big)\big)$ converge vers $\left(x,\mu\right)$ ; or cette suite est dans $Im\psi$ qui est fermé, donc sa limite $\left(x,\mu\right)\in Im\psi$, et donc $\mu=f\left(x\right)$.
Ainsi, la suite $f\left(x_{n}\right)$ possède une unique valeur d'adhérence : $f\left(x\right)$, donc converge vers $f\left(x\right)$.
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@Zig il me semble que tu utilises également un raisonnement par l'absurde en effet tu dis Ainsi, la suite $f\left(x_{n}\right)$ possède une unique valeur d'adhérence : $f\left(x\right)$, donc converge vers $f\left(x\right)$.
Mais pour démontrer cette affirmation tu dois bien supposer que $f\left(x_{n}\right)$ ne converge pas vers $f\left(x\right)$ ou bien un truc m'échappe ?