Espace de suites

Bonjour,
Montre que son complémentaire est ouvert : pour tout $x\in A^c$, il existe une boule ouverte centrée en $x$ et contenue dans $A^c$.

1) Prouver que la partie infinie $\lbrace e_n\mid n\in\mathbb{N}\rbrace$ est discrète.
2)a) Prendre une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de Cauchy de $\ell_1(\mathbb{N})$ et montrer que chacune de ses projections sur $e_i$ converge vers $u^*_i e_i$.
2)b) Prouver que $\sum_{i=1}^{+\infty}u^*_ie_i=u^*$ est dans $\ell_1(\mathbb{N})$.
2)c) Prouver que la limite dans $\ell_1(\mathbb{N})$ de $u_n$ est $u^*$.
3) L'application $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\mapsto (nx_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est lipschitzienne donc...

$f$ n'est pas l'application $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\mapsto (nx_n)_{n\in\mathbb{N}}$!

On ne sait pas si tu as progressé en suivant l'indication de bisam ...

Notons $F((x_n)_n)=\sum_n n|x_n|$. Je prends par exemple $ \bar{x}=(\bar{x}_n)_n$ dans le complémentaire de $A$, et soit $(x^{(k)})_k$ une suite d'éléments de $\ell^1$ convergeant vers $\bar{x}$.

Puisque $F(\bar{x})=\rho>1$, nous avons un $N$ pour lequel $\sum_{n=1}^N n|\bar{x}_n| \geq \rho'$ avec $\rho'=(1+\rho)/2>1$. Ceci donne un $K$ tel que pour tout $k \geq K$, $\sum_{n=1}^N n|x^{(k)}_n| \geq \rho''$ avec $\rho''=(1+\rho')/2>1$, puisque la convergence dans $\ell^1$ implique la convergence coordonnée par coordonnée et que nous avons désormais une somme finie. A fortiori, $F(x^{(k)})\geq \rho''>1$ pour $k \geq K$.

Ainsi, toute suite convergeant vers $\bar x$ est dans le complémentaire de $A$ à partir d'un certain rang, cela est la caractérisation séquentielle des ouverts, donc $A$ est fermé.