Voisinage fermé
Bonsoir,
s'il vous plait comment montrer que dans un espace topologique séparé l'intersection de tout les voisinages fermé de x est le singleton x ?
Soit $\{V_i\}_{i\in I}$ une famille de voisinages fermé de $x$ alors $\bigcap_{i\in I}V_i=\{x\}$
Si je suppose qu'il existe $y\neq x$ tel que $y\in \bigcap_{i\in I} V_i$ alors $y\in V_i,\ \forall i\in I$.
Si $y\neq x$ alors il existe deux ouverts $O$ et $\Omega$ ($y\in O$ et $x\in \Omega$) tel que $O\cap \Omega=\emptyset$
Je n'arrive pas à trouver la contradiction.
s'il vous plait comment montrer que dans un espace topologique séparé l'intersection de tout les voisinages fermé de x est le singleton x ?
Soit $\{V_i\}_{i\in I}$ une famille de voisinages fermé de $x$ alors $\bigcap_{i\in I}V_i=\{x\}$
Si je suppose qu'il existe $y\neq x$ tel que $y\in \bigcap_{i\in I} V_i$ alors $y\in V_i,\ \forall i\in I$.
Si $y\neq x$ alors il existe deux ouverts $O$ et $\Omega$ ($y\in O$ et $x\in \Omega$) tel que $O\cap \Omega=\emptyset$
Je n'arrive pas à trouver la contradiction.
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Réponses
Il faut regarder tous les voisinages fermés de $x$, pas uniquement une famille (c'est d'ailleurs toi qui le dit dans ton énoncé), sinon cela ne marche pas.
Tu as un voisinage ouvert $O$ de $y$ tel que $O\cap\Omega=\emptyset$, donc $y$ n'appartient pas à $\overline{\Omega}$, qui est un voisinage fermé de $x$.
Par conséquent, $y$ n'appartient pas à l'intersection des voisinages fermés de $x$.