Questions sur la compacité
Bonjour, j'ai du mal avec quelques questions sur la compacité. J'aurais besoin de votre aide.
Soit E une partie non vide de Rn. On pose
d(x,E) = inf ||x - y|| avec x appartenant à Rn et y appartenant à E.
Question 1. Montrer que si E est compacte alors pour tout x de Rn, il existe yx de E tel que d(x,E) = d(x,yx)
L'élément yx de E est-il unique ? Justifier votre réponse à l'aide d'un exemple ou d'un contre-exemple.
Question 2. Soit F et G deux compacts non vides de Rn tels que :
pour tout x de Rn, d(x, F) + d(x,G) > 0
2) (a) Montrer que F et G sont disjoints.
Pour cette question, je raisonne par l'absurde en considérant que F et G ne sont pas disjoints. J'introduis un élément y commun à F et à G mais je ne sais pas continuer.
2) (b) Montrer qu'il existe une fonction continue u : Rn --> [0, +oo[ telle que u(x) = 1 pour tout x de F et u(x) = 0 pour tout x de G (indication : se servir des fonctions d(x,F) et d(x,G)).
2) (c) Montrer que la fonction u est uniformément continue sur F U G.
Cela fait quelques jours que je réfléchis avec la connaissance des définitions mais je n'y arrive pas. Si vous pouviez m'aider. Je vous remercie.
Soit E une partie non vide de Rn. On pose
d(x,E) = inf ||x - y|| avec x appartenant à Rn et y appartenant à E.
Question 1. Montrer que si E est compacte alors pour tout x de Rn, il existe yx de E tel que d(x,E) = d(x,yx)
L'élément yx de E est-il unique ? Justifier votre réponse à l'aide d'un exemple ou d'un contre-exemple.
Question 2. Soit F et G deux compacts non vides de Rn tels que :
pour tout x de Rn, d(x, F) + d(x,G) > 0
2) (a) Montrer que F et G sont disjoints.
Pour cette question, je raisonne par l'absurde en considérant que F et G ne sont pas disjoints. J'introduis un élément y commun à F et à G mais je ne sais pas continuer.
2) (b) Montrer qu'il existe une fonction continue u : Rn --> [0, +oo[ telle que u(x) = 1 pour tout x de F et u(x) = 0 pour tout x de G (indication : se servir des fonctions d(x,F) et d(x,G)).
2) (c) Montrer que la fonction u est uniformément continue sur F U G.
Cela fait quelques jours que je réfléchis avec la connaissance des définitions mais je n'y arrive pas. Si vous pouviez m'aider. Je vous remercie.
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Réponses
Pour le 2) (a), pourquoi ne pas montrer que $d(z,E) = 0$ pour tout élément $z$ dans $E$ ?
Puis considérer un élément commun à $F$ et $G$ : et alors $0+0>0$ est une contradiction.
Pour 2)a), tu as l'indication de YvesM.
Pour 2)b), tu peux suivre l'indication de l'énoncé, en constatant notamment que $d(x,F)=0$ et $d(x,G)\neq 0$ quand $x \in F$...
Pour 2)c), ce sera plus simple quand tu auras l'expression de $u$.
Question 1.
E est compact dans un espace de dimension finie, E est une partie fermée et bornée. Soit (xn) une suite convergente de E. Notons yx la limite de (xn). L'élément yx appartient à E car E est fermée. Pour tout x de Rn, on peut alors écrire
d(x, E) = d(x,yx)
L'élément yx est unique par unicité d'une limite. Bon raisonnement ?
Question 2 (a) Malgré l'indication de YvesM, je ne vois pas très bien comment arriver à 0 + 0 > 0. Je comprends que, par définition, on a droit d'écrire :
Soit y de E. Pour tout x de E, on a nécessairement
d(x,E) = 0
Par l'absurde, si F et G ont un élément commun b, on a
d(x,b) + d(x,b) > 0 et donc 2d(x,b) > 0
Absurde.
Question 2 (b) Pour x de G, on a
d(x,G) = 0
Puisque F et G sont disjoints, on a nécessairement d(x,F) différent de 0. Il existe alors une application u telle que :
u(x) = 1 pour x appartenant à F
u(x) = 0 pour x appartenant à G
Ma question : pourquoi 1 ?
Question 2 (c). Puisque F et G sont disjoints, on a x différent de y pour x de G et y de F. Ainsi, x et appartiennent à FUG. On a
|x - y| > 0, u(x) = 0, u(y) = 1 (par ce qui précède).
Il existe alors k de R+ tel que
|u(x) - u(y)| <= k |x-y|
La fonction est k-lipschitzienne : elle est uniformément continue.
Mon raisonnement est-il bon ?
Pour la 2) a), soit $b$ un élément de $F$ et de $G$.
$d(b,F) = 0$, tu l'as écrit.
$d(b,G) = 0$, tu l'as écrit.
Donc $d(b,F) + d(b, G) = 0+ 0 = 0.$