Questions sur la compacité

tgbne
tgbne
dans Topologie
Bonjour, j'ai du mal avec quelques questions sur la compacité. J'aurais besoin de votre aide.

Soit E une partie non vide de Rn. On pose
d(x,E) = inf ||x - y|| avec x appartenant à Rn et y appartenant à E.

Question 1. Montrer que si E est compacte alors pour tout x de Rn, il existe yx de E tel que d(x,E) = d(x,yx)
L'élément yx de E est-il unique ? Justifier votre réponse à l'aide d'un exemple ou d'un contre-exemple.

Question 2. Soit F et G deux compacts non vides de Rn tels que :
pour tout x de Rn, d(x, F) + d(x,G) > 0
2) (a) Montrer que F et G sont disjoints.

Pour cette question, je raisonne par l'absurde en considérant que F et G ne sont pas disjoints. J'introduis un élément y commun à F et à G mais je ne sais pas continuer.

2) (b) Montrer qu'il existe une fonction continue u : Rn --> [0, +oo[ telle que u(x) = 1 pour tout x de F et u(x) = 0 pour tout x de G (indication : se servir des fonctions d(x,F) et d(x,G)).
2) (c) Montrer que la fonction u est uniformément continue sur F U G.

Cela fait quelques jours que je réfléchis avec la connaissance des définitions mais je n'y arrive pas. Si vous pouviez m'aider. Je vous remercie.

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Pour le 2) (a), pourquoi ne pas montrer que $d(z,E) = 0$ pour tout élément $z$ dans $E$ ?
    Puis considérer un élément commun à $F$ et $G$ : et alors $0+0>0$ est une contradiction.
  • Poirot
    Poirot
    Pour la question $1$ fais un dessin et regarde ce qu'il se passe quand $E$ est constitué de deux points par exemple.

    Pour 2)a), tu as l'indication de YvesM.
    Pour 2)b), tu peux suivre l'indication de l'énoncé, en constatant notamment que $d(x,F)=0$ et $d(x,G)\neq 0$ quand $x \in F$...
    Pour 2)c), ce sera plus simple quand tu auras l'expression de $u$.
  • christophe c
    christophe c
    Pour information: (2a) est évident. Donc quelle est ta question à son propos? Cela permettra de mieux t'aider.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • tgbne
    tgbne
    J'ai réfléchi un peu plus aux questions

    Question 1.

    E est compact dans un espace de dimension finie, E est une partie fermée et bornée. Soit (xn) une suite convergente de E. Notons yx la limite de (xn). L'élément yx appartient à E car E est fermée. Pour tout x de Rn, on peut alors écrire

    d(x, E) = d(x,yx)

    L'élément yx est unique par unicité d'une limite. Bon raisonnement ?

    Question 2 (a) Malgré l'indication de YvesM, je ne vois pas très bien comment arriver à 0 + 0 > 0. Je comprends que, par définition, on a droit d'écrire :

    Soit y de E. Pour tout x de E, on a nécessairement

    d(x,E) = 0

    Par l'absurde, si F et G ont un élément commun b, on a

    d(x,b) + d(x,b) > 0 et donc 2d(x,b) > 0

    Absurde.

    Question 2 (b) Pour x de G, on a

    d(x,G) = 0

    Puisque F et G sont disjoints, on a nécessairement d(x,F) différent de 0. Il existe alors une application u telle que :

    u(x) = 1 pour x appartenant à F
    u(x) = 0 pour x appartenant à G

    Ma question : pourquoi 1 ?

    Question 2 (c). Puisque F et G sont disjoints, on a x différent de y pour x de G et y de F. Ainsi, x et appartiennent à FUG. On a

    |x - y| > 0, u(x) = 0, u(y) = 1 (par ce qui précède).

    Il existe alors k de R+ tel que

    |u(x) - u(y)| <= k |x-y|

    La fonction est k-lipschitzienne : elle est uniformément continue.

    Mon raisonnement est-il bon ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Pour la 2) a), soit $b$ un élément de $F$ et de $G$.
    $d(b,F) = 0$, tu l'as écrit.
    $d(b,G) = 0$, tu l'as écrit.
    Donc $d(b,F) + d(b, G) = 0+ 0 = 0.$
  • tgbne
    tgbne
    En effet, erreur d'inattention. Merci !
  • math2
    math2
    Question 1 : je n'ai pas compris ton argument, mais de toutes façons le résultat est visiblement faux. Comme suggéré par un autre membre, si ton compact est constitué d'un ensemble de deux points par exemple, et si tu cherches à projeter le milieu de ces deux points sur le compact, les deux points du compact seront solution. Autre exemple, si ton compact est un cercle, et si $x$ est le centre du cercle, tous les points du cercle seront des $y_x$.
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