Contrexemple "naturel" en topologie
Bonjour
Je cherche un exemple assez naturel d'une application surjective $f : X \to Y$ entre espaces topologiques qui est continue, surjective et telle qu'il existe une partie $A\subset Y$ non ouverte telle que $f^{-1}(A)$ est ouverte.
Je sais répondre à ma question en munissant $X$ de la topologie discrète. Mais ce n'est pas ce que je cherche, car dans ma vie mathématique, les espaces topologiques que je côtoie ne sont pas munis de la topologie discrète.
C'est un peu ça que je veux dire par "assez naturel", je cherche un exemple qui ne soit pas construit ad hoc, mais qui se rencontre dans des cadres mathématiques autres que "je m'amuse à construire des contre-exemples pathologiques". Un truc qu'on puisse croiser dans des questions d'analyse ou de géométrie par exemple.
Si vous avez ça en magasin...
Bonne semaine.
Je cherche un exemple assez naturel d'une application surjective $f : X \to Y$ entre espaces topologiques qui est continue, surjective et telle qu'il existe une partie $A\subset Y$ non ouverte telle que $f^{-1}(A)$ est ouverte.
Je sais répondre à ma question en munissant $X$ de la topologie discrète. Mais ce n'est pas ce que je cherche, car dans ma vie mathématique, les espaces topologiques que je côtoie ne sont pas munis de la topologie discrète.
C'est un peu ça que je veux dire par "assez naturel", je cherche un exemple qui ne soit pas construit ad hoc, mais qui se rencontre dans des cadres mathématiques autres que "je m'amuse à construire des contre-exemples pathologiques". Un truc qu'on puisse croiser dans des questions d'analyse ou de géométrie par exemple.
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Réponses
Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$, qui à $x$ associe $x^3-x$. Alors elle est continue et surjective. $f$ atteint un minimum local en $x_0=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Soit $B=]x_0-\epsilon,x_0+ \epsilon[$, et $A=f(B)$, alors $A$ n'est pas un ouvert, et $f^{-1}(A)=B$ est ouvert.
(on choisit $\epsilon$ assez petit par exemple $\epsilon=-\frac{1}{\sqrt{3}}$)
Mais $f^{-1}(\{0\})= [0,1]$ qui n'est pas un ouvert de $[0,2]$,il me semble. Ou j'ai mal compris ?
Après, on peut faire marcher ton truc en prenant $[0,2]\setminus\{1\}$ dans l'espace de départ, la fonction reste surjective, et l'image réciproque de $\{0\}$ est $[0,1[$ qui est bien un ouvert de $[0,2]\setminus\{1\}$.
Ouais, on s'en sort avec des trucs comme ça. Bon j'aurais aimé un truc un peu moins bricolé, parce que là, je prends une fonction continue et je retire juste des points à l'espace de départ pour que ça marche, mais en pratique, la vraie fonction naturelle qu'on regarde ne vérifie pas la propriété.
EDIT : Poirot, tricheur, tu as supprimé ton message !
(En gros c'est le contre exemple canonique au fait que les immersions injectives n'ont pas pour image une sous variété)
D'après NoName, on peut aussi choisir $f:[0, 2\pi [ \rightarrow U(1)$ qui à $t$ associe $e^{it}$. Et $B=[0,\pi[$ et $A=f(B)$, alors $A$ n'est pas ouverte dans $U(1)$ et $B$ est bien ouvert dans $[0,2\pi[$.
NoName, merci de t'intéresser à mon problème, mais je ne comprends pas bien ton exemple. Je connais ce contrexemple d'immesion injective qui n'est pas un plongement, mais je ne vois pas comment construire mon ensemble $A$.
Bon en tout cas, j'ai eu la réponse à ma question par Marco.
Merci à tous et bonne semaine !
L'application définie par Marco est un immersion injective qui n'est pas ouverte.
L'exemple que je donne (sous forme de dessin ou par la description explicite, à noter qu'il manque un $2$ devant l'arctan dans ma formule explicite) est du meme tonneau.
Regarde l'image de $]-1-r, -1+r[$ pour un $r>0$ par la fonction $f$, ca n'est pas un ouvert (tout ouvert contenant $f(-1)$ contient une réunion $f(]-1-r, -1+r[)\cup f(]T, \infty[)$) mais son image inverse est $]-1-r,-1+r[$ qui est un ouvert de $\mathbb{R}$.