Compacité, complétude du corps de base
Bonjour à vous
Je me demandais où est-ce qu'on utilise la complétude de $\mathbb{R}$ dans la preuve ci-jointe ?
J'ai envie de dire, que $c:=\sup(W)$ n'étant pas forcément dans $W$, il est défini comme une limite et est dans $\mathbb{R}$ par complétude. On utiliserait alors l'hypothèse lorsqu'on dit qu'il existe $j\in I$ tel que $c\in U_j$ (début dernier paragraphe) ?
En fait, de cette preuve on déduit que les intervalles fermés de $\mathbb{R}$ sont compacts et puis que toutes normes sur un $\mathbb{R}$-e.v.n de dimension finie sont équivalentes. Comment généralise-t-on ce dernier résultat pour un e.v.n. sur un corps complet quelconque (pour $\mathbb{C}$ ok on identifie à $\mathbb{R}^2$) ?
Merci de votre aide.
Je me demandais où est-ce qu'on utilise la complétude de $\mathbb{R}$ dans la preuve ci-jointe ?
J'ai envie de dire, que $c:=\sup(W)$ n'étant pas forcément dans $W$, il est défini comme une limite et est dans $\mathbb{R}$ par complétude. On utiliserait alors l'hypothèse lorsqu'on dit qu'il existe $j\in I$ tel que $c\in U_j$ (début dernier paragraphe) ?
En fait, de cette preuve on déduit que les intervalles fermés de $\mathbb{R}$ sont compacts et puis que toutes normes sur un $\mathbb{R}$-e.v.n de dimension finie sont équivalentes. Comment généralise-t-on ce dernier résultat pour un e.v.n. sur un corps complet quelconque (pour $\mathbb{C}$ ok on identifie à $\mathbb{R}^2$) ?
Merci de votre aide.
Réponses
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On peut montrer que la complétude de $\mathbb R$ est équivalente à la propriété de la borne supérieure dans $\mathbb R$, donc oui, ça semble être à cet endroit.
De quelle généralisation parles-tu exactement ? -
Bonjour Poirot
D'accord merci beaucoup. Je parle de l'énoncé suivant (je ne l'ai vu nul part mais je suppose qu'il doit être vrai).
Soit $\mathbb{K}$ un corps complet, et $E$ un $\mathbb{K}$-e.v.n. de dimension finie (en particulier $\mathbb{K}$ est muni d'une version généralisée d'une valeur absolue comme vous me l'avez indiqué dans mon post d'hier). Alors toutes les normes sur $E$ sont équivalentes.
Dans la preuve, j'ai l'impression que le point clé c'est de caractériser les compacts de $\mathbb{K}^n$ pour une norme bien choisie (généralement c'est pour la norme produit $||\cdot||_\infty$). Pour le corps des réels, ça vient du lemme que j'ai posté, pour les complexes on se ramène aux réels, mais en général ? -
De mémoire cette généralisation existe bien, Foys en avait donné une preuve sur le forum il y a quelques temps.
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D'accord merci, je vais essayé de retrouver ça. (tu)
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Bonjour!
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