Compacité

Oui, tu peux même plus généralement et à moindre coût montrer que si $(x_n)_{n\in\N}$ est une suite qui converge vers $x$ alors $\big\{x_n\mid n\in\N\big\}\cup\{x\}$ est compact.

On en a parlé plusieurs fois sur ce forum. Si l'on définit un compact par la propriété de Borel-Lebesgue, c'est immédiat.
Mais dans les classes de Math Spé MP, les compacts sont définis séquentiellement (d'ailleurs aujourd'hui les autres Spéciales ne sont pas jugées dignes de savoir ce qu'est un compact...).
La plupart des exercices concernant les compacts se font sans mal avec la définition séquentielle, mais celui-ci est plus difficile. Qu'en dites-vous ?
Bonne journée.
Fr. Ch.

Calli, je précise ma question. Dans un espace vectoriel normé de dimension quelconque, finie ou non, ou bien dans un espace métrique, on définit une partie compacte $K$ par la propriété de Bolzano-Weierstrass : de toute suite d’éléments de $K$ on peut extraire une suite qui converge dans $K$.
Il est bien connu qu'une partie bornée et fermée n'est pas nécessairement un compact.
C'est avec cette définition qu'il faut prouver que si $\lim x_n=\ell$, la partie $K=\{ x_n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{\ell \}$ est compacte, et pas seulement bornée et fermée.
C'est la seule propriété que je connaisse pour laquelle la définition séquentielle est malcommode. Ce résultat est pourtant important à connaître.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.

Calli, relis ce que j'ai écrit. Dans un espace métrique, ou bien dans un espace vectoriel normé de dimension quelconque, finie ou non, on définit une partie compacte par la propriété de Bolzano-Weierstrass (voir mon message précédent). Avec cette seule définition, il faut prouver que l’ensemble $K=\{ x_n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{\ell \}$ est compact. Qu'il soit borné et fermé n'a rien à voir avec la question.

Je crois que Chaurien ne s'intéresse pas directement à la question initiale, mais à une généralisation à démontrer avec les outils de CPGE. En particulier, son $K$ n'est pas le $T$ du message initial ni n'est, a priori, une partie de $\R$ (si j'ai bien suivi).

Je vais faire dodo, je vous laisse conjecturer pour la nuit. (:P)

Manda et Zig ont été les premiers à signaler la généralisation, jusqu'à un espace topologique séparé.

Moi ma question porte sur les espaces métriques. Dans un espace métrique, on donne pour un compact $K$ la définition de Bolzano-Weierstrass : de toute suite d’éléments de $K$, on peut extraire une suite qui converge dans $K$ (c'est ce qui se fait en Math Spé MP pour les espaces vectoriels normés de dimension quelconque, finie ou non).

Dans un espace métrique $E$, on considère une suite $(x_n)_{n \in \mathbb N} $ convergente, de limite $\ell$. Démontrer, avec la définition adoptée, que l'ensemble $K=\{ x_n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{\ell \}$ est compact. Telle est ma question.

Si l'on se place dans un espace vectoriel normé $E$ de dimension finie (ou en particulier dans $ \mathbb R$) il est bien connu que les parties compactes sont exactement les parties bornées et fermées. Si l'on pose dans ce cadre la même question pour notre ensemble $K=\{ x_n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{\ell \}$ avec $\lim x_n = \ell$, il n'est pas difficile de démontrer que cet ensemble est borné et fermé, mais ce n'est pas tout à fait immédiat non plus.

Bonne fête de la Victoire.
Fr. Ch.
08/05/2021

Voici une solution à ta question, Chaurien, qui évite de prendre une suite de $K$ et d'en construire manuellement une sous-suite. Je reprécise que j'utilise "compact" au sens de "séquentiellement compact".

Soit donc $K=\{ x_n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{\ell \}$ comme tu l'as défini, et soit $ K_0 = \{\frac1{n+1} \mid n\in\Bbb N\}\cup\{0\}$. Soit $f:K_0\to K$ telle que $f(0)=\ell$ et, pour tout $n\in\Bbb N$, $f(\frac1{n+1})=x_n$. Alors $f$ est continue (il n'y a qu'une vérification à faire, $f(t) \underset{t\to 0}\longrightarrow \ell$, et elle est immédiate). Et $K_0$ est compact car c'est un fermé borné de $\Bbb R$. Or on voit en MPSI un théorème qui dit que l'image d'un compact par une application continue est compacte. Donc $K = f(K_0)$ est compact.

Voici ma solution laborieuse, en espérant qu'il n'y a pas d'erreur.

Soient $E$ un espace métrique et $(x_n)$ une suite d'éléments de $E$ convergeant vers $\ell \in E$. Soient $K := \{ x_n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{\ell \}$ et $(a_n)$ une suite d'éléments de $K$. On se propose d'extraire de $(a_n)$ une sous-suite qui converge dans $K$.

1) Comme $(x_n)$ converge vers $\ell$, pour tout réel $\varepsilon >0$, le nombre d'éléments de $K$ en dehors de la boule ouverte $B(\ell, \varepsilon)$ est fini car à partir d'un certain rang, tous les $x_n$ sont dans $B(\ell, \varepsilon)$. A fortiori, pour tout réel $\varepsilon >0$, le nombre de valeurs de la suite $(a_n)$ en dehors de $B(\ell, \varepsilon)$ est fini, i.e. :
\[ \forall \varepsilon >0, \{ a_n \mid n \in \mathbb{N} \text{ et } a_n \notin B(\ell, \varepsilon) \} \text{ est fini.} \]
2) On distingue deux cas :

a) Ou bien il existe $\varepsilon >0$ tel que $\{ n \in \mathbb{N} \mid a_n \notin B(\ell, \varepsilon) \}$ soit infini.

Comme l'ensemble des valeurs correspondantes $V := \{ a_n \mid n \in \mathbb{N} \text{ et } a_n \notin B(\ell, \varepsilon) \}$ est fini, il existe $v_0 \in V$ tel que $\{ n \in \mathbb{N} \mid a_n = v_0 \}$ soit infini, d'où l'existence d'une suite extraite constante, égale à $v_0$, de $(a_n)$. Cette suite converge vers $v_0$ qui est un élément de $K$.

b) Ou bien pour tout $\varepsilon >0$, $\{ n \in \mathbb{N} \mid a_n \notin B(\ell, \varepsilon) \}$ est fini.

Alors, pour tout $\varepsilon >0$, $\{ n \in \mathbb{N} \mid a_n \in B(\ell, \varepsilon) \}$ est infini, donc en prenant $\varepsilon = \frac{1}{k+1}$, on définit aisément une suite extraite $(a_{\varphi(k)})$ de $(a_n)$ avec pour tout $k$ dans $\mathbb{N}$, $a_{\varphi(k)} \in B(\ell, \frac{1}{k+1})$ (dit de manière plus « savante » : étant donné que tout voisinage de $\ell$ contient une boule $B(\ell, \varepsilon)$, ce qui précède implique que $\ell$ est une valeur d'adhérence de $(a_n)$, or comme $E$ est un espace métrique, chacun de ses points admet une base dénombrable de voisinages, donc les valeurs d'adhérence d'une suite d'éléments de $E$ sont les limites de ses suites extraites). On peut donc extraire de $(a_n)$ une suite qui converge vers $\ell$, lequel est un élément de $K$.

Chaurien : D'accord. Je l'avais vu en MPSI, donc je ne savais pas que ça n'était qu'au programme de MP.

brian : Dans le cas b), on a tout simplement $a_n\to\ell$ donc l'extractrice $\varphi = {\rm id}_{\Bbb N}$ convient.