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Généralisation de Brouwer

christophe cchristophe c
dans Topologie
Sur la route pour visiter les montagnes des Vosges que je n'ai jamais vues je suis en train de réfléchir à la question 1148 que j'ai mise dans il est facile 2 et m'aperçois que dans le cas n = 2 c'est un équivalent du théorème de Brouwer mais dans le cas où n = 3 c'est déjà une très forte généralisation donc j'ouvre un fil spécifique pour voir si quelqu'un ne serait-ce que pour n = 3 connais des énoncés proches.

Dicté à mon téléphone.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi

Réponses

  • marcomarco
    Pour $n=3$, en repère cylindrique, c'est-à-dire que, en $(x,y,z)=(r \cos \theta,r \sin \theta,z)$, on a les vecteurs $e_z=(0,0,1)$, $e_1=(\cos \theta, \sin \theta,0)$, $e_2=(-\sin \theta, \cos \theta,0)$. On définit $f(x,y,z)$ pour tout $x,y,z$ par: si $r\leq \pi/2$, $ f(x,y,z)=\cos r .e_z+\sin r . e_2$, et pour $r\geq \pi/2$, $f(x,y,z)=e_2$.
    Alors on a des solutions bornées pour $g'(t)=f(g(t))$ et $g(0)=a$ (lorsque, en $a$, $r\geq \pi/2$).
  • christophe cchristophe c
    Grand merci à toi Marco quand j'ai vu tes sinus et et cosinus de mon petit téléphone j'ai tilté tout de suite donc je pense que la description en français vague c'est on prend une tige verticale quand on est proche de la tige on tourne en montant et quand on est loin de la tige on tourne en descendant il y a un endroit où on tourne en restant à l'altitude constante et là effectivement ça donne un cercle qui est borné un grand grand merci à toi dictée de mon téléphone pardon à ad je pourrais corriger plus tard mais pas tout de suite mais je corrigerai les fautes plus tard
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  • gebranegebrane
    Je serais très content si quelqu'un m'explique de manière conventionnelle que n = 2 est équivalent du théorème de Brouwer
    Le 😄 Farceur


  • marcomarco
    @Christophe: oui, c'est bien ça.
  • christophe cchristophe c
    Gibran je dicte ma réponse de mon téléphone car je ne peux pas taper sur les touches

    Quand tu as une application qui à chaque x associe une demi droite qui part de x

    Tu peux fabriquer une fonction qui étant donné X suis la demi droite jusqu'à la frontière du domaine puis si elle ne tape perpendiculairement à cette frontière cela indique comment continuer sur la frontière.

    De la sorte tu construis une fonction sans point fixe

    Conclusion pour tout domaine de Jordan c'est-à-dire la partie intérieure à une courbe de Jordan dérivable,

    il existe sur cette courbe un point tel que la demi-droite associé est perpendiculaire à la courbe.

    Sinon le théorème de Brouwer serait faux.
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  • gebranegebrane
    Merci cc, j'attends que tu sois sur un PC pour comprendre mieux. C'est très vague pour moi
    Le 😄 Farceur


  • marsupmarsup
    La question, c'est bien celle-là :
    Soit un champ de vecteurs $\vec{X}$ sur $\R^n$ tel que $\|\vec{X}\| \equiv 1$.

    Alors son flot sort de tout compact.

    C'est ça ?
  • christophe cchristophe c
    Merci Marco pour cette reformulation. Je ne sais pas précisément le sens du mot flux.

    La question initiale que tu as résolue semble être il existe des flux partiels bornés. La nouvelle est "peut on faire en sorte que TOUT flux partiel soit borné" à partie d'un champ bien choisi.

    De mon téléphone
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  • christophe cchristophe c
    Gebrane: partant de x, tu suis la demi-droite. Si par malheur tu tapes dans la paroi (qui est localement une hyperplan, tu suis l'opposé de l'ombre* de la demi droite sur cette paroi.

    C'est continu et t'envoie chaque x sur un y autre que x.

    Seul obstacle : que tu arrives orthogonalement sur la paroi (pas d'ombre à suivre).

    *projection orthogonale de la droite sur l'hyperplan.
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