Ouverts, fermés, adhérences (vrai/faux)

Bonjour,
je m'entraîne à un exercice dont je n'ai pas la correction.

On considère les ensembles suivants.
A = {(x,y,z) de R³ | x + y + z différent de 0}
B = {(x,y) de R² | 1 < x² + y² =< 2}
C = {(x,y) de R² | x² + y² =< 1}
D = {(x,y,z) de R³ | xyz =< 1}.

Je dois vérifier si les assertions suivantes sont vraies ou fausses. Donner une démonstration ou un contre-exemple.

(1) C est compact dans R²

Vrai. C est fermé et borné dans un espace de dimension égale à 2 (dimension finie) : c'est un compact

(2) B n'est ni ouvert ni fermé dans R²

Vrai. Mais je ne sais pas justifier pourquoi.

(3) A est ouvert dans R³ et son adhérence est égale à R³.

A est ouvert car son complémentaire {(x,y,z) de R³ : x + y + z = 0} est un fermé. Cependant, pour son adhérence, je ne sais pas justifier.

(4) D n'est ni fermé ni borné dans R³

Faux. car son complémentaire {(x,y,z) de R³ : xyz > 1} n'est pas fermé (il est ouvert) et n'est pas borné.

Est-ce que mes justifications sont bonnes ? Si vous pouvez m'aider pour de bonnes justifications. Je vous remercie.