Fonction continue, surjective mais pas fermée

Nora-math
Nora-math
dans Topologie
Bonjour, s'il vous plaît je cherche un exemple d'une fonction continue, surjective mais pas fermée.
Merci.

Réponses

  • marsup
    marsup
    Bonjour

    Si je ne me trompe pas, la fonction $f:\R_+\to\R$ définie par
    $$
    f(x) = e^x \times (\cos(x) + 1) ) + e^{-x}
    $$ est continue et $f(\R_{+}) = \R_+^*$.
    On la complète par $f(x) = 3 + x$ pour $x<0$, et ça répond à la question.
  • christophe c
    christophe c
    surjective de quoi dans quoi?
    fermée en quel sens?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • marsup
    marsup
    Fermées comme ça : https://fr.wikipedia.org/wiki/Applications_ouvertes_et_fermées
  • christophe c
    christophe c
    Merci pour la précision. On aurait aussi pu penser "fermée comme partie de $E\times F$", d'où ma question.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • marsup
    marsup
    Ah oui, comme dans le Théorème du graphe fermé https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_du_graphe_fermé

    Mais bon :
    wikipedia a écrit:
    le graphe de toute application continue d'un espace topologique quelconque X dans un espace séparé Y est toujours fermé dans X×Y.
  • Chaurien
    Chaurien
    En m'inspirant de l'idée de Marsup, je proposerais aussi : $f(x)=(1-e^{-x}) \sin x$, $\mathbb R \rightarrow \mathbb R$, qui de plus est $\mathcal C^ \infty$.
  • Nora-math
    Nora-math
    [Fonction] fermée: l'image de tout fermé par $f$ est un fermé.

    Comment montrer qu'il existe un fermé tel que son image ne soit pas fermé ?
  • christophe c
    christophe c
    @Nora: n'importe quel fermé non compact d'un espace métrique $E$ peut être envoyé sur un non fermé de $F$ par une continue $f$ de $E\to F$ en choisissant bien (sans grand suspens) $(f,F)$.

    Après à toi de voir si tu as plus d'exigences que ça.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Nora-math
    Nora-math
    Si je considère $f(x)=(1-e^{-x}) \sin x$ comment montrer que par exemple $f([0,+\infty[)$ n'est pas fermé ?

    quel est la relation avec la compacité ?

    Merci
  • Poirot
    Poirot
    Tu peux déterminer explicitement $f([0, +\infty[)$ par des argument usuels de L1.
  • Nora-math
    Nora-math
    Merci
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