Application lipschitzienne

1) $K$ est probablement $\R$ ou $\C$.

2) Tenu compte de 1), il s'agit de la valeur absolue.

3) car $d_n(p_n(x),p_n(y))=d_n(x_n,y_n)\leqslant D(x,y)$

On a : $d_n(p_n(x),p_n(y))=d_n(x_n,y_n)$.

Or $\displaystyle d_n(x_n,y_n)^2\leqslant \sum_{k=0}^{\infty} d_k(x_k,y_k)^2=D(x,y)^2$

Donc $d_n(x_n,y_n)\leqslant D(x,y)$.

@Blanc j'étais en train de tout détailler pour répondre à ta question avant que tu ne modifies ton message ci-dessus... Je poste quand-même car ça m'a pris du temps de rédiger.


Si on se donne $x=(x_n)$ et $y=(y_n)$ deux suites dans le produit, on a pour tout $k\geq 0$ : $d_k(x_k,y_k)\leq |c_k|$ par hypothèse.

En élevant au carré des deux côtés de l'inégalité on a : $d_k(x_k,y_k)^2\leq |c_k|^2$

En sommant de $0$ à $n$ on trouve : $\displaystyle \sum_{k=0}^n d_k(x_k,y_k)^2\leq \sum_{k=0}^n |c_k|^2$

Mais $\displaystyle \sum_{k=0}^n |c_k|^2\leq \sum_{k=0}^{\infty} |c_k|^2< +\infty$.

Pour tout $n\geq 0$ on pose $S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^n d_k(x_k,y_k)^2$. La suite $(S_n)$ est donc croissante et majorée par ce qui a été dit précédemment, donc elle converge (c'est ça la propriété des suites qui a été utilisée) et sa limite est notée $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} d_k(x_k,y_k)^2$.

On a évidemment $\displaystyle d_n(x_n,y_n)^2\leq S_n\leq \sum_{k=0}^{\infty} d_k(x_k,y_k)^2=D(x,y)^2$.

Application lipschitzienne.
Rudolph Lipschitz (1832 - 1903).