Isométrie entre evn

En prenant $E=\mathbb{R}^{n}$, et pour $\varPhi$ l'identité sur $\mathbb{R}^{n}$, cela implique donc que toutes les normes sur $\mathbb{R}^{n}$ sont égales ?...
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Oui, probablement "la norme induite sur $\mathbb R^n$", car "la norme sur $\mathbb R^n$" est une phrase sans signification.

Cordialement.

" je n'ai pas bien compris pourquoi elle est induite :-S elle ne préexistait pas ? "

Ben ... il y a une infinité de normes sur $\mathbb R^n$, elles "préexistent' évidement toutes ! Mais avec un isomorphisme d'espaces vectoriels, tu transporte une norme d'un espace à l'autre, et on parle de la norme induite, dans ce cas.
Mais cet oubli de "induite" et le fait que tu parles de "la norme sur $\mathbb R^n$" montrent que tu manque un peu de rigueur en français courant. En maths, c'est catastrophique ! Un mot de moins et tout est faux; "la" employé quand il n'y a pas un seul objet désigné montre un défaut dans la pensée.

Cordialement.

Oui,

je peux le concevoir, mais je sais que c'est catastrophique pour les maths. Avec un enfant sur les genoux, tu as autre chose à faire que d'écrire des maths !!
Et pas besoin d'être prof pour être rigoureux. D'ailleurs certains ne le sont pas.
Enfin, si tu avais sérieusement lu les réponses, et donc évité ce message, je n'aurais pas eu à insister lourdement (j'en étais conscient en l'écrivant).

Cordialement.

C'est le nom traditionnel pour un objet d'une structure construit à partir d'un objet de même genre. On parle aussi de transport de structure.

Par exemple, n'importe quelle bijection entre un ensemble dénombrable $E$ et $\mathbb Z$ transporte la structure d'anneau de $(\mathbb Z,+,\times)$ sur $E$. Et comme il y a une infinité de telles applications, tu as une infinité de structures d'anneau différentes sur $E$. Même si $E=\mathbb Z$.

Je ne parlais pas d'isomorphisme, seulement de bijection. Mais évidemment, la structure et la structure induite sont isomorphes.
Sinon, dire "qu'un isomorphisme préserve la structure" n'est qu'une façon de traduire le mot "isomorphisme" (étymologiquement : même forme, même structure) et sa définition. S'il n'y a pas la même structure, il n'y a pas d'isomorphisme.