Dimension de Hausdorff d'une projection
Bonjour à tous
Je me demande si le résultat suivant est vrai.
Soit $A$ un sous-ensemble de $\R^2$, $\bar{A}$ son projeté orthogonal sur l'axe $Ox$ et $A_x$ la section verticale de $A$ en $x$.
On suppose que $\dim_H A_x = 0$ pour tout $x$.
Alors $\dim_H \bar{A} = \dim_H A$.
Je sais que la condition n'est pas nécessaire, on peut avoir un $x$ tel que $\dim_H A_x >0$ et $\dim_H \bar{A} = \dim_H A$, par exemple avec $A:=\{0\}\times [0,1] \cup [0,1] \times\{0\}$.
Quelqu'un aurait une indication ?
Merci
Je me demande si le résultat suivant est vrai.
Soit $A$ un sous-ensemble de $\R^2$, $\bar{A}$ son projeté orthogonal sur l'axe $Ox$ et $A_x$ la section verticale de $A$ en $x$.
On suppose que $\dim_H A_x = 0$ pour tout $x$.
Alors $\dim_H \bar{A} = \dim_H A$.
Je sais que la condition n'est pas nécessaire, on peut avoir un $x$ tel que $\dim_H A_x >0$ et $\dim_H \bar{A} = \dim_H A$, par exemple avec $A:=\{0\}\times [0,1] \cup [0,1] \times\{0\}$.
Quelqu'un aurait une indication ?
Merci
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Réponses
La propriété demandée est fausse. Tu peux chercher un contre-exemple avec l'escalier de Cantor.
$A := \{(x,f(x))~|~x\in C\}$ fonctionne si je ne dis pas de bêtises, avec $f$ l'escalier de Cantor et $C$ le Cantor.
Edit : correction suivant la remarque de Poirot