Ensemble des fermés de $\R$
Salut,
Je lis dans un cours que l'ensemble des fermés de $\R$ muni de sa topologie usuelle (cette topologie étant définie comme l'ensemble des réunions quelconques d'intervalles de la forme $]a,b[$ avec $(a,b)\in\R^2$), est égal à l'ensemble des réunions d'intervalles de la forme $[a,b]$ avec $(a,b)\in\R^2$.
Je n'arrive pas à le prouver et j'arrive uniquement à montrer qu'un fermé de $\R$ est une intersection quelconque de réunions d'intervalles de la forme $[a,b]$ avec $(a,b)\in\R^2$. Je pense donc que c'est faux.
Est-ce une erreur du cours ? Si oui, pouvez-vous me donner un exemple de fermé de $\R$ qui ne soit pas de la forme $\bigcup\limits_{i\in I} [a_i,b_i]$ avec $I$ ensemble quelconque et $(a_i,b_i)\in\R^2$ ?
Je lis dans un cours que l'ensemble des fermés de $\R$ muni de sa topologie usuelle (cette topologie étant définie comme l'ensemble des réunions quelconques d'intervalles de la forme $]a,b[$ avec $(a,b)\in\R^2$), est égal à l'ensemble des réunions d'intervalles de la forme $[a,b]$ avec $(a,b)\in\R^2$.
Je n'arrive pas à le prouver et j'arrive uniquement à montrer qu'un fermé de $\R$ est une intersection quelconque de réunions d'intervalles de la forme $[a,b]$ avec $(a,b)\in\R^2$. Je pense donc que c'est faux.
Est-ce une erreur du cours ? Si oui, pouvez-vous me donner un exemple de fermé de $\R$ qui ne soit pas de la forme $\bigcup\limits_{i\in I} [a_i,b_i]$ avec $I$ ensemble quelconque et $(a_i,b_i)\in\R^2$ ?
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Réponses
J'espère que je ne dis pas de bêtise, mais il me semble que les singletons sont À partir de là, toute partie de $\R$ est aussi une telle réunion, non ?
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Les fermés sont les réunions d'intervalles fermés disjoints.