Partie bornée d'un espace produit

Cretinus
Cretinus
dans Topologie
Bonjour
Dans un e.v.n. produit $E=E_{1}\times E_{2}\times\cdots\times E_{n}$ muni de la norme produit, tout produit de parties bornées des $E_{i}$ est une partie bornée de $E$.
La réciproque est fausse mais je ne trouve pas de contre-exemple.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci.

Réponses

  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Par exemple, peux-tu trouver un sous-ensemble borné de $\Bbb R\times\Bbb R$ qui n'est pas un rectangle ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Dans $\mathbb R^2$, le disque est-il un produit de parties bornées de $\mathbb R$ ?

    Cordialement.
  • Cretinus
    Cretinus
    Merci de votre aide. J'étais complètement à côté. C'était évident. Bonne soirée.
  • Calli
    Calli
    Pardon, je vais taquiner, mais du coup avec un pseudo pareil c'est assez amusant. ^^ Mais c'était probablement de l'autodérision ce pseudo.
  • math2
    math2
    On peut s'amuser à se torturer un peu plus l'esprit, en se demandant si, lorsqu'un produit de parties est borné, si chacune des parties est bornée.

    La réponse est également fausse, comme le montre l'exemple $\R \times \emptyset$ dans $\R^2$.

    Si en revanche chacun des facteurs du produit est non vide, alors la propriété devient vraie.
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