Norme strictement convexe et singletons
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Bonjour,
Je cherche à vérifier que sur un espace vectoriel normé $(E, || \cdot ||)$, la norme est strictement convexe si et seulement si les seuls segments contenus dans la sphère unité $S$ de $E$ sont les singletons.
Je prends pour définition de la stricte convexité pour une norme la propriété suivante $\forall (x,y) \in B_{f}(0,1), x\neq y\Rightarrow ||\frac{x+y}{2}||< 1$
Le sens direct est immédiat par définition: si un segment $[x,y]$ appartient à la sphère unité, son milieu y appartient donc $||\frac{x+y}{2}||=1$ et $x=y$: le segment est en fait un singleton.
La réciproque m'embête un peu plus. On est sensé avoir prouvé que $\psi:\begin{pmatrix}
[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\\
t \mapsto ||(1-t)x+ty||
\end{pmatrix}$ est convexe lorsque $||x||=||y||=1$. Le cas de deux points qui ne sont pas tous deux sur la sphère ne pose pas de soucis, on suppose donc qu'on dispose de deux points $x,y$ distincts sur sphère (avec $\psi(0)=\psi(1)=1$). Par hypothèse, il existe un $0<t_{0}<1$ pour lequel $(1-t_{0})x+t_{0}y \notin S$ ce qui signifie que $\psi(t_{0})<1$ (puisque la boule unité d'une norme est convexe). La convexité de $\psi$ force alors la fonction à être toujours strictement plus petite que $1$ en dehors des bords, donc en $\frac{1}{2}$, c'est à dire que $\psi(\frac{1}{2})=||\frac{x+y}{2}||< 1$.
Je suis convaincu que c'est vraiment élémentaire, mais auriez-vous des indications pour montrer la convexité de $\psi$ ?
J'ai fait mon petit dessin, sur un segment $[x,y]$, mais mon calcul (je reviens à la définition) n'aboutit pas tout à fait. Erreur de calcul basique, ou bien y a t'il une façon simple de faire ?
Je cherche à vérifier que sur un espace vectoriel normé $(E, || \cdot ||)$, la norme est strictement convexe si et seulement si les seuls segments contenus dans la sphère unité $S$ de $E$ sont les singletons.
Je prends pour définition de la stricte convexité pour une norme la propriété suivante $\forall (x,y) \in B_{f}(0,1), x\neq y\Rightarrow ||\frac{x+y}{2}||< 1$
Le sens direct est immédiat par définition: si un segment $[x,y]$ appartient à la sphère unité, son milieu y appartient donc $||\frac{x+y}{2}||=1$ et $x=y$: le segment est en fait un singleton.
La réciproque m'embête un peu plus. On est sensé avoir prouvé que $\psi:\begin{pmatrix}
[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\\
t \mapsto ||(1-t)x+ty||
\end{pmatrix}$ est convexe lorsque $||x||=||y||=1$. Le cas de deux points qui ne sont pas tous deux sur la sphère ne pose pas de soucis, on suppose donc qu'on dispose de deux points $x,y$ distincts sur sphère (avec $\psi(0)=\psi(1)=1$). Par hypothèse, il existe un $0<t_{0}<1$ pour lequel $(1-t_{0})x+t_{0}y \notin S$ ce qui signifie que $\psi(t_{0})<1$ (puisque la boule unité d'une norme est convexe). La convexité de $\psi$ force alors la fonction à être toujours strictement plus petite que $1$ en dehors des bords, donc en $\frac{1}{2}$, c'est à dire que $\psi(\frac{1}{2})=||\frac{x+y}{2}||< 1$.
Je suis convaincu que c'est vraiment élémentaire, mais auriez-vous des indications pour montrer la convexité de $\psi$ ?
J'ai fait mon petit dessin, sur un segment $[x,y]$, mais mon calcul (je reviens à la définition) n'aboutit pas tout à fait. Erreur de calcul basique, ou bien y a t'il une façon simple de faire ?
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Réponses
remarquer que $1-\left(\lambda t_{1}+\left(1-\lambda\right)t_{2}\right)=\lambda\left(1-t_{1}\right)+\left(1-\lambda\right)\left(1-t_{2}\right)$...
.
Si on pose $z:=(1-t_{0})x+t_{0}y$ on a $\|z\|<1$ et par conséquent, les segments $]x,z]$ et $[z, y[$ n'intersectent pas la sphère. Il en découle que $||\frac{x+y}{2}||< 1$.
PS. peut-être que l'indication de Zig résout le problème plus élégamment.
J'aime bien cette version entièrement géométrique.
EDIT: Oui, c'est évident.
Y a-t-il d'autres applications ?
PS. Pour ce qui est de montrer que certaines normes ne sont pas euclidiennes il y a l'identité du parallélogramme qui fournit carrément une équivalence.
Je ne comprends pas comment on déduit (ce qui a l'air d'être évident pour tout le monde) de
hypothèses : $||x||=1$ et $||y||=1$ et $||(x+y)/2||=1$
que
conclusion : $x=y$.
Ah oui, je viens de relire. Effectivement, j'avais lu que c'était l'autre propriété qu'il appelait stricte convexité. MERCI