Module croissant le long d'un chemin

adrien2019 · July 2021

Bonjour à tous,

Je réfléchis à une question que je poste dans cette section car je pense qu'elle relève de topologie. Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ non constant. Soient deux complexes $a$ et $b$ tels que $|a| \neq |b|$ et $|P(a)| \neq |P(b)|$ (disons par exemple $|P(a)| < |P(b)|$).

1) Existe-t-il un chemin continu reliant $a$ à $b$ et le long duquel $|P|$ soit croissant?
2) Peut-on choisir un tel chemin de sorte que le module des complexes le long du chemin soit:
- croissant si $|a| < |b|$;
- décroissant si $|a| > |b|$? (autrement dit, le chemin ne "revient pas en arrière").

Je vous remercie d'avance pour votre aide!

Calli · July 2021

Bonjour,
Pour la deuxième question, la réponse est non. Soient $P=(X-i)(X+i)$, $\varepsilon >0$, $a=-1+\varepsilon$, $b=1+\varepsilon$ et $E= B(i,2\varepsilon)\cup B(-i,2\varepsilon)$. On a $|P(a)|<|P(b)|$. Si $\varepsilon$ est assez petit alors $|P(a)| > s:=\sup\{|P(x)|\mid x\in E\}$ car $|P(a)| \approx |P(-1)|>0$ et $s\approx 0$. Comme le chemin demandé doit passer dans la zone $E$, le module de $P$ ne peut pas être monotone le long du chemin.

Calli · July 2021

La réponse à la première question est aussi non. Si $a$ et $b$ sont très proches de deux racines distinctes, ils seront dans des cuvettes. Et pour passer d'une cuvette à l'autre il faudra franchir une crête, plus haute que $|P(a)|$ et $|P(b)|$.

Math Coss · July 2021

Illustration du dernier message avec $X^2-1$. Le module est figuré par la couleur : petit pour le marron foncé, de plus en plus clair puis bleu quand il augmente. 125090