Besoin de détails sur un ex. corrigé.

Bonjour
Je suis tombé sur une application de cours assez simple et corrigée mais j'aimerais plus de détails sur leur conclusion car même si cela semble évident, j'ai l'impression qu'ils empruntent un raccourci.

On considère $(E, ||.||)$ un espace de Banach, et $E_n$ une suite décroissante de fermés non vides de $E$ tel que $\lim D(E_n) = 0$ et où $D(E_n)$ désigne le diamètre de $E_n$.
Le point 1 consistait à montrer qu'il existait un point $a$ de $E$ tel que $\cap E_n = \{a\}$ ce qui se fait sans trop de peine en construisant la bonne suite de Cauchy.
Le point 2 veut montrer que si on a une fonction $f$ continue de $E$ dans $F$, on a $\cap f(E_n) = f(\{a\})$

Pour cela ils le font par inclusion.
L'inclusion $f(a) \subset \cap f(E_n)$ est évidente.

Pour l'autre sens, on prend $W$ un voisinage quelconque de $f(a)$.
La continuité en $a$ implique qu'il existe $r > 0$ t.q. $f(B(a,r)) \subset W$.
De plus, comme $\lim D(E_n) = 0$, il existe $N$ t.q. pour $n \geq N,\ D(E_n) \leq r.$
On a donc pour tout $n \geq N,\ E_n \subset B(a,D(E_n)) \subset B(a,r)$
Et pour tout $n \geq N,\ f(E_n) \subset f(B(a,r) \subset W$

Et la conclusion qui me pose problème :
Comme cela est vérifié pour tout voisinage de $f(a)$, on a $\cap f(E_n) = f(\{a\})$.
Est-ce possible de détailler plus, car là on a une intersection, un infini dénombrable, ça ne se marie pas bien généralement.
Merci.