Exercice application linéaire continue
Bonjour,
je suis en L3, je commence la topologie et je bloque sur un exercice. L’énoncé est le suivant.
Soient E et F deux e.v.n., et f de E dans F une application linéaire. Montrer que si, pour toute suite (Un) de E, de limite 0, la suite (f(Un)) est bornée dans F, alors f est continue.
Merci d’avance pour vos conseils !
Lune
je suis en L3, je commence la topologie et je bloque sur un exercice. L’énoncé est le suivant.
Soient E et F deux e.v.n., et f de E dans F une application linéaire. Montrer que si, pour toute suite (Un) de E, de limite 0, la suite (f(Un)) est bornée dans F, alors f est continue.
Merci d’avance pour vos conseils !
Lune
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Réponses
Auriez-vous une piste pour démarrer le raisonnement ?
Merci d’avance !
Lune
Tu auras potentiellement besoin du fait qu'une application linéaire est continue ssi elle est continue en 0.
Je te demande ça car ça ne sert à rien de te donner des indications si tu as déjà du mal avec la définition de continuité.
Comme a dit Calli ci-dessus, pour montrer que $f$ est continue il suffit de montrer qu'elle est continue en $0$.
Pour montrer que $f$ est continue en $0$ tu dois montrer que pour toute suite $(u_n)$ de $E$ qui tend vers $0$, la suite $(f(u_n))$ tend aussi vers $0$.
Soit donc $(u_n)$ une suite de $E$ qui tend vers $0$.
Est-ce que tu arrives à exploiter la linéarité de $f$ pour montrer qu'en fait $(f(u_n))$ tend vers $0$ ?
Indication : essaie par exemple de construire une suite qui tend vers $0$ de la forme $(u_n/ \lambda_n)$ avec $(\lambda_n)$ une suite qui tend également vers $0$. Puis utilise le fait que $\left(f(u_n/ \lambda_n)\right)$ est bornée par hypothèse.
Merci pour votre aide, j’aurais une dernière question.
Pour l’instant j’ai ceci:
Soit $(\lambda_n)$ une suite de réels tendant vers 0. On a donc $f(u_n\lambda_n)$ bornée. Or $f$ étant linéaire, $f(u_n\lambda_n)$=$\lambda_n$$f(u_n)$ qui tend vers 0 par produit d’une suite bornée et d’une suite tendant vers 0.
Nous avons donc prouvé que pour toute suite $(u_n)$ tendant vers 0, $f(u_n)$ tend vers $f(0)$ donc $f$ est continue en 0 donc elle l’est sur E.
Mon seul problème ici est le « pour tout $(u_n)$ ». Est-ce qu’il ne faudrait pas démontrer que toute suite $(u_n)$ d’éléments de E, il existe $(\lambda_n)$ dans $R$ et $(v_n)$ dans E tq $(u_n)$=$(\lambda_n v_n)$ ?
Merci d’avance
Ici il y a une erreur, ce que tu as montré c'est que $f(u_n\lambda_n)$ tend vers $0$ pas que $f(u_n)$ tend vers $0$.
Oui si tu veux exploiter le résultat d'avant. Le gros du boulot reste à faire...
En résumé (je me base sur ton début de raisonnement) : tu as montré que si $(\lambda_n)$ est une suite de réels qui tend vers $0$ et si $(u_n)$ est une suite de $E$ qui tend vers $0$ alors $(f(u_n\lambda_n))$ tend vers $0$.
Comment utiliser ça pour démontrer que pour toute suite $(u_n)$ de $E$ qui tend vers $0$, $(f(u_n))$ tend aussi vers $0$ ?
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