Irréductibilité des ouverts
Bonjour.
Merci de jeter un coup d'œil à ma préoccupation.
Si $A = U \cap V, $ $U$ et $V$ étant chacun un ouvert irréductible de $A$ tels que $U \cap V \neq \varnothing$, alors $A $ est irréductible.
J'ai essayé de raisonner par l'absurde en supposant que je peux écrire $A$ comme réunion de deux fermés propres. Mais quand je le dis je n'arrive plus à avancer !
Merci de jeter un coup d'œil à ma préoccupation.
Si $A = U \cap V, $ $U$ et $V$ étant chacun un ouvert irréductible de $A$ tels que $U \cap V \neq \varnothing$, alors $A $ est irréductible.
J'ai essayé de raisonner par l'absurde en supposant que je peux écrire $A$ comme réunion de deux fermés propres. Mais quand je le dis je n'arrive plus à avancer !
Réponses
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Es-tu sûr de ton énoncé ? Qu'est-ce que ça veut dire que $U$ et $V$ sont des irréductibles de $A$ si $A$ est inclus dans $U$ et $V$ et pas l'inverse ? Voulais-tu dire que $A = U \cup V$ ?
Si oui, il suffit de prendre $O_1$ et $O_2$ deux ouverts non vide de $A$ et montrer que $O_1 \cap O_2 \neq \emptyset$. -
Ah oui il s'agit de l'Union enfait. Toutes mes excuses
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Merci Poirot. Cette définition je la connait également mais je n'arrive pas à l'exploiter!
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Il faut faire plusieurs cas selon si $O_1$ rencontre $U \cap V$ ou non, et utiliser la densité de $O_1$ dans l'ouvert correspondant, je te laisse chercher un peu.
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Si je suppose que $O_{1}$ rencontre $U \cap V $, alors je peux dire que $O_{1}$ rencontre $U$ et $O_{1}$ rencontre $V$.
Comme $U$ et $V$ sont irréductibles et que $O_{1} \cap U$ est un ouvert non vide de $U$ alors il est dense dans $U$. Pareillement $O_{1} \cap V$ est dense dans $V$.......:-S -
En fait c'est beaucoup plus simple que ça : Si $O$ est un ouvert non vide de $A$, alors $O$ rencontre $U$ ou $V$, et y est donc dense, donc il rencontre l'ouvert non vide $U \cap V$. Finalement $O$ est dense à la fois dans $U$ et dans $V$, donc dans leur union.
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Merci c'est parfait.
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Bonjour!
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