Connexité
dans Topologie
Bonsoir à tous
Soit $ X $ un espace topologique, réunion de deux composantes connexes $ Y $ et $ Z $.
Soit $ (x_n)_{ n \geq 0 } $ une suite dans $ Y $, convergente dans $ X $.
Montrer qu'il n'existe aucun élément $ x \in Z $ tel que, $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } x_n = x $.
Merci d'avance.
Soit $ X $ un espace topologique, réunion de deux composantes connexes $ Y $ et $ Z $.
Soit $ (x_n)_{ n \geq 0 } $ une suite dans $ Y $, convergente dans $ X $.
Montrer qu'il n'existe aucun élément $ x \in Z $ tel que, $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } x_n = x $.
Merci d'avance.
Réponses
-
Remercie surtout ceux qui ne te répondent pas !
-
Supposons par absurde, que $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } x_n = x \in Z \backslash \partial Z $,
Alors, puisque, $ Z \backslash \partial Z $ est un voisinage de $ x $, alors, il existe un ouvert de $ X $ tel que, $ x \in U \in Z \backslash \partial Z $.
Puisque, $ \displaystyle \lim_{ n \to = \infty } x_n = x $, alors, $ \exists n_0 \in \mathbb{N} $, tel que, pour tout $ n \geq n_0 $, $ x_n \in U \in Z \backslash \partial Z $. Ce qui est absurde, car, les éléments de la suite $ (x_n)_{ n \geq 0 } $ sont par hypothèse, tous dans $ Y $.
Par conséquent, $ x \not \in Z \backslash \partial Z $.
Comment montrer maintenant que, $ x \not \in \partial Z $ ?
Merci d'avance. -
Pablo s'amuse encore à manipuler le LaTeX. Et il adore écrire $\partial Z$.
C'est vraiment pour écrire, tout ça, car la réponse tient en une ligne !! Mais laissons-lui le plaisir de trouver seul.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres