Composante connexe

Bonsoir.

Quelle est ta définition de "connexe" ? S'applique-t-elle à {b} ?

Cordialement.

NB : En général, la première phase d'apprentissage d'une notion nouvelle est de traiter soi-même ce genre de question en utilisant la définition pour l'apprendre.

Il faut voir que dans cette topologie, toutes les parties sont ouvertes et fermées (par définition, car c'est la topologie la plus fine): elle est un peu particulière en ce sens !
Une fois qu'on connait les ouverts et les fermés (ici, c'est tout le monde), on peut chercher à caractériser les connexes par leur définition. Il y en a plusieurs, équivalentes, notamment dire que E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints, ou encore que les seuls ouverts-fermés de E sont l'ensemble vide $\varnothing $ et E lui-même (c'est souvent une propriété qu'on utilise quand on sait qu'un espace est connexe).

* est-ce que le singleton $\{b \}$ vérifie cette propriété ?
* et si une partie contient plus d'un élément, disons $\{a, b \}$ ?

Je ne sais pas si cette topologie est la plus caractéristique pour mettre en avant la connexité, on dessine souvent des parties de $\mathbb{C}$ pour l'expliquer, mais d'autres te répondront mieux que moi ! :-)

Un point est connexe, une virgule est connexe, mais un point-virgule n'est pas connexe : ses composantes connexes sont le point et la virgule.

Si tu vas sur Microsoft Paint, que tu gribouilles au stylo noir sur ton écran, et qu'ensuite tu prends l'outil "pot de peinture" et la couleur rouge, si tu cliques quelque part sur ton écran, c'est tout un morceau d'écran qui va se colorier en rouge. C'est la composante connexe du point où tu as cliqué que tu as coloriée.

Une fois qu'on a ça en tête, ça devient un poil plus simple de s'imager le concept abstrait, je trouve.

Merci, pour une fois j'ai trouvé ça tout seul :-D

Un autre exemple : si on prend des ciseaux et une feuille. La feuille est connexe au départ. Si j'entaille juste la feuille, ça reste connexe. Mais si je découpe quelque chose que je peux séparer entièrement du reste de la feuille, là j'ai partagé ma feuille en deux composantes connexe. Mnémotechnique : en anglais, connexe se dit "connected". Connecté, attaché.