Composante connexe
Bonjour, j'essaie de comprendre cette notion avec un exemple tout simple.
Prenons $X=\{a,b,c\}$ avec la topologie discrète. Déjà à quoi ressemble un sous-espace connexe ici? Ensuite la composante connexe de $b$ par exemple est je crois seulement $\{b\}$ mais je ne vois pas l'explication... Merci pour votre aide.
Prenons $X=\{a,b,c\}$ avec la topologie discrète. Déjà à quoi ressemble un sous-espace connexe ici? Ensuite la composante connexe de $b$ par exemple est je crois seulement $\{b\}$ mais je ne vois pas l'explication... Merci pour votre aide.
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Réponses
Dans le cas que tu choisis, est-ce que $\{ a;b \}$ est connexe ?
Remarque : c’est une bonne méthode que tu entreprends.
Essayer de voir sur des espaces finies, ou « simples ».
Tu peux te poser la question pour tous les sous-ensembles de l’espace que tu as choisi.
Essaye de voir, il n’y en a pas trop, lesquels sont connexes : prends-les un par un.
Il en existe $2^3$ (des sous-ensembles).
Quelle est ta définition de "connexe" ? S'applique-t-elle à {b} ?
Cordialement.
NB : En général, la première phase d'apprentissage d'une notion nouvelle est de traiter soi-même ce genre de question en utilisant la définition pour l'apprendre.
Une composante connexe est... connexe. C'est le plus gros ensemble connexe contenant un élément. Donc, la composante connexe de $b$ est $\{b\}$.
Une fois qu'on connait les ouverts et les fermés (ici, c'est tout le monde), on peut chercher à caractériser les connexes par leur définition. Il y en a plusieurs, équivalentes, notamment dire que E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints, ou encore que les seuls ouverts-fermés de E sont l'ensemble vide $\varnothing $ et E lui-même (c'est souvent une propriété qu'on utilise quand on sait qu'un espace est connexe).
* est-ce que le singleton $\{b \}$ vérifie cette propriété ?
* et si une partie contient plus d'un élément, disons $\{a, b \}$ ?
Je ne sais pas si cette topologie est la plus caractéristique pour mettre en avant la connexité, on dessine souvent des parties de $\mathbb{C}$ pour l'expliquer, mais d'autres te répondront mieux que moi ! :-)
Si tu vas sur Microsoft Paint, que tu gribouilles au stylo noir sur ton écran, et qu'ensuite tu prends l'outil "pot de peinture" et la couleur rouge, si tu cliques quelque part sur ton écran, c'est tout un morceau d'écran qui va se colorier en rouge. C'est la composante connexe du point où tu as cliqué que tu as coloriée.
Une fois qu'on a ça en tête, ça devient un poil plus simple de s'imager le concept abstrait, je trouve.
Un autre exemple : si on prend des ciseaux et une feuille. La feuille est connexe au départ. Si j'entaille juste la feuille, ça reste connexe. Mais si je découpe quelque chose que je peux séparer entièrement du reste de la feuille, là j'ai partagé ma feuille en deux composantes connexe. Mnémotechnique : en anglais, connexe se dit "connected". Connecté, attaché.