Distance de Hausdorff complète
Bonjour
Soit $(E,d)$ un espace métrique, $\mathcal{F}$ la famille d'ensembles fermés et bornés, on la munit de la distance de Hausdorff.
$h(A,B)=\max\Big(\max\limits_{x\in A}d(x,B),\max_{x\in B}d(x,A)\Big)$
Si on suppose que $(E,d)$ est complet on doit montrer que $(\mathcal{F},h)$ est complet.
Soit $(A_n)$ une suite de $\mathcal{F}$ de Cauchy c-a-d
\begin{align*}
\forall \varepsilon>0,\ \exists n_0\in \mathbb{N},\ \forall p,q\in\mathbb{N},\ p,q\geq n_0&\Rightarrow h(A_p,A_q)<\varepsilon\\
&\Rightarrow \begin{cases} \max\limits_{x\in A_p} d(x,A_q)<\varepsilon\\ \max\limits_{x\in A_q} d(x,A_p)<\varepsilon\end{cases}\\
&\Rightarrow \begin{cases} d(x,A_q)<\varepsilon, &\forall x\in A_p\\ d(x,A_p)<\varepsilon,&\forall x\in A_q\end{cases}\\
&\Rightarrow \begin{cases} \inf\limits_{y\in A_q}d(x,y)<\varepsilon,& \forall x\in A_p\\ \inf\limits_{z\in A_p}d(x,z)<\varepsilon,&\forall x\in A_q\end{cases}
\end{align*} Peut ont continuer comme cela pour montrer que la famille $(A_n)$ converge dans $\mathcal{F}$ ?
Soit $(E,d)$ un espace métrique, $\mathcal{F}$ la famille d'ensembles fermés et bornés, on la munit de la distance de Hausdorff.
$h(A,B)=\max\Big(\max\limits_{x\in A}d(x,B),\max_{x\in B}d(x,A)\Big)$
Si on suppose que $(E,d)$ est complet on doit montrer que $(\mathcal{F},h)$ est complet.
Soit $(A_n)$ une suite de $\mathcal{F}$ de Cauchy c-a-d
\begin{align*}
\forall \varepsilon>0,\ \exists n_0\in \mathbb{N},\ \forall p,q\in\mathbb{N},\ p,q\geq n_0&\Rightarrow h(A_p,A_q)<\varepsilon\\
&\Rightarrow \begin{cases} \max\limits_{x\in A_p} d(x,A_q)<\varepsilon\\ \max\limits_{x\in A_q} d(x,A_p)<\varepsilon\end{cases}\\
&\Rightarrow \begin{cases} d(x,A_q)<\varepsilon, &\forall x\in A_p\\ d(x,A_p)<\varepsilon,&\forall x\in A_q\end{cases}\\
&\Rightarrow \begin{cases} \inf\limits_{y\in A_q}d(x,y)<\varepsilon,& \forall x\in A_p\\ \inf\limits_{z\in A_p}d(x,z)<\varepsilon,&\forall x\in A_q\end{cases}
\end{align*} Peut ont continuer comme cela pour montrer que la famille $(A_n)$ converge dans $\mathcal{F}$ ?
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Réponses
En prenant la suite telle que décrite dans l'énoncé, $h(A_k,A_{k+1})<2^{-k-1}$ traduit le fait que n'importe quel point de $A_k$ ne peut être distant de plus de $2^{-k-1}$ de n'importe quel'un certain point de $A_{k+1}$.
(désolé, j'avais écrit une sacrée bêtise)
Je te laisse en pièce jointe un énoncé de ma composition.
Si tu bloques encore, j'ai un corrigé.