Union de fermés
Bonsoir
Dans un espace métrique on considère un compact $A$, comment montrer que $ C= \bigcup_{x\in A} B'(x,r),\ r>0$ est fermé ?
Si je prends $y\in \bar{C}$ alors $\forall\varepsilon>0,\ B(y,\varepsilon)\cap C\neq \emptyset$,
donc il existe un élément $z$ tel que $d(z,y)<\varepsilon$ et $z\in C$ donc il existe $x_0\in A$ tel que $d(z,x_0)<r$.
Comment terminer svp et ou utiliser la compacité de $A$ ?
Dans un espace métrique on considère un compact $A$, comment montrer que $ C= \bigcup_{x\in A} B'(x,r),\ r>0$ est fermé ?
Si je prends $y\in \bar{C}$ alors $\forall\varepsilon>0,\ B(y,\varepsilon)\cap C\neq \emptyset$,
donc il existe un élément $z$ tel que $d(z,y)<\varepsilon$ et $z\in C$ donc il existe $x_0\in A$ tel que $d(z,x_0)<r$.
Comment terminer svp et ou utiliser la compacité de $A$ ?
Réponses
-
Tu peux procéder ainsi : soit $(y_n)$ une suite dans $C$ qui converge vers $y$.
- Montre qu'il existe une suite $(a_n)$ dans $A$ telle que $d(y_n,a_n)\leq r$
- Montre que quitte à prendre une suite extraite on peut supposer qu'il existe $a\in A$ tel que $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=a$
- En déduire que $d(y,a)\leq r$ -
Merci beaucoup je vais essayer
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Bonjour!
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