Preuve continuité produit de deux fonctions
Bonjour à tous,
Considérons $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, et $f : X \to Y$ une application continue.
Considérons également $X'$ et $Y'$ deux espaces topologiques, et $g : X' \to Y'$ une application continue.
J'aimerais savoir si il était possible de démontrer par la caractérisation de la continuité par les ouverts que le produit $fg$ est continu.
Par caractérisation séquentielle ou par caractérisation $\varepsilon \backslash \delta$ je parviens à le démontrer, mais j'ai du mal à montrer qu'étant donné un ouvert $U$ de l'espace d'arrivée l'ensemble $(fg)^{-1}(U)$ est un ouvert de l'espace de départ, si quelqu'un possède une piste pour me débloquer je suis preneur.
Considérons $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, et $f : X \to Y$ une application continue.
Considérons également $X'$ et $Y'$ deux espaces topologiques, et $g : X' \to Y'$ une application continue.
J'aimerais savoir si il était possible de démontrer par la caractérisation de la continuité par les ouverts que le produit $fg$ est continu.
Par caractérisation séquentielle ou par caractérisation $\varepsilon \backslash \delta$ je parviens à le démontrer, mais j'ai du mal à montrer qu'étant donné un ouvert $U$ de l'espace d'arrivée l'ensemble $(fg)^{-1}(U)$ est un ouvert de l'espace de départ, si quelqu'un possède une piste pour me débloquer je suis preneur.
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Réponses
Autrement dit $fg : x \mapsto f(x) \times g(x)$
Si tu n'as pas de telle multiplication, la question n'a pas de sens, et si elle n'est pas continue, l'énoncé est faux :-D
Par exemple avec Y={a,b,c} et Y'={£,&,",#,@} ?
Cordialement.
On suppose par ailleurs l'application continue et bien définie.
Dans ce cas $fg : X'' \to Y''$.
Les outils étant mieux posés, je reste coincé dans le raisonnement.
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On considère $U$ un ouvert de $Y''$ et on veut montrer que $(fg)^{-1} (U) \subset X''$ est ouvert.
Soit $x \in (fg)^{-1} (U)$. Alors $(fg)(x) \in U$.
$U$ étant ouvert, il existe $r>0$ tel que $B((fg)(x),r) \subset U$.
Comment puis-je avancer ensuite ?