Espace $ \ell^2 ( \mathbb{R} ) $

@Georges Abitbol, @raoul.S, @bd2017,

Soit l'espace mesuré $ ( \mathbb{R} , \mathcal{B} (\mathbb{R}) , \lambda ) $, où, $ \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) $ est la tribu borélienne de $ \mathbb{R} $, et $ \lambda $ est la mesure de Lebesgue relativement à $ \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) $.
Soit l'espace mesuré $ ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu ) $, où, $ \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) $ est la tribu discrète de $ \mathbb{N} $ qui s'identifie à la trace de $ \mathcal{B} (\mathbb{R}) $ sur $ \mathbb{N} $, et $ \mu $ est la mesure de comptage, qui est la mesure trace de la mesure de Lebesgue $ \lambda $ sur $ \mathbb{N} $.
Alors, l'application trace $ \mathrm{tr} \ : \ ( \mathbb{R} , \mathcal{B} (\mathbb{R}) , \lambda ) \to ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu ) $ induit une isométrie $ \mathrm{tr}^* \ : \ \ell^2 ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu ) \to L^2 ( \mathbb{R} , \mathcal{B} (\mathbb{R}) , \lambda ) $ de $ \ell^2 ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu ) $ sur son image par $ \mathrm{tr}^* $ dans $ L^2.( \mathbb{R} , \mathcal{B} (\mathbb{R}) , \lambda ) $.
Donc, Georges, ton $ i $ est simplement $ \mathrm{tr}^* $ et $ \ell^2 ( \mathbb{R} ) $ est simplement $ \ell^2 ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu ) $, @bd2017.
Maintenant, $ \mathrm{tr}^* $ est défini par, $ \mathrm{tr}^* ( u ) = f $, pour $ u \in \ell^2 ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu )$, et $ f \in L^2 ( \mathbb{R} , \mathcal{B} (\mathbb{R}) , \lambda ) $, tel que, $ \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } |u_n|^2 = \displaystyle \int_{ \mathbb{R} } \mathrm{tr}_{ \mathrm{prol} }^* ( |f|^2 d \lambda ) < + \infty $ où, $ \mathrm{tr}_{ \mathrm{prol} }^* $ est le prolongement de la trace $ \mathrm{tr}^* \ : \ \ell^2 ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu ) \to L^2 ( \mathbb{R} , \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) , \lambda ) $ sur $ \Omega^1 ( \mathbb{R} , \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) , \lambda ) $ qui est l'espace des $ 1 $ - formes différentielles sur $ \mathbb{R} $.
Est ce que c'est ça ?

Merci d'avance.

Bonsoir,

J'ai réfléchi à ce problème tout à l'heure, et en regardant la page $ 90 $ du pdf suivant, https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.maurey/ts012/poly/lths.pdf , je me dit que peut être, pour montrer que, $ \ell^2 ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu ) $ s'injecte isométriquement dans $ L^2 ( \mathbb{R} , \mathcal{B} (\mathbb{R}) , \lambda ) $, il suffit de montrer que le morphisme suivant, $ \psi \ : \ L^2 ( [0,2 \pi ] ) \to \ell^2 ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu ) $ défini par, $ \psi (f) = ( \langle f , e_n \rangle )_{ n \geq 0 } \in \ell^2 ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu ) $, pour tout $ f \in L^2 ( [0, \pi ] ) $, où, $ e_n (t) = e^{int} $, pour tout $ n \in \mathbb{N} $, pour tout $ t \in [0,2 \pi ] $ ( $ \mathcal{B} = \{ \ e_n \ \}_{ n \geq 0 } $, est la base hilbertienne canonique de $ L^2 [0,2 \pi ] ) $ ) est une bijection isométrique, et que, $ L^2 ( [0, 2 \pi ] ) $ s'injecte isométriquement dans $ L^2 ( \mathbb{R} ) $. D'où, $ \ell^2 ( \mathbb{N} ) $ s'injecte isométriquement dans $ L^2 ( \mathbb{R} ) $. Est ce que c'est ça ?

Merci d'avance.

Revenons à notre question de départ,
Quelle est $ Y $ tel que le diagramme tracé au début du fil est commutatif ?
Merci d'avance.

J'ai trouvé la réponse dans un livre. Il suffit de montrer que, $$ L^p ( \mathbb{R} ) = \overline{ \displaystyle \{ \ \displaystyle \sum_{ i=1 , \dots , n } r_i \mathrm{1}_{ [ p_i , q_i [ } \ | \ r_i , p_i , q_i \in \mathbb{Q} \ , \ n \in \mathbb{N} \ \displaystyle \} }^{ || \bullet ||_{p} } $$ avec, $ p_i < q_i < p_{i +1} $ pour tout $ i = 1 , \dots , n $.