Topologie profinie

ignatus
ignatus
dans Topologie
Bonsoir,
je voudrais avoir quelques renseignements élémentaires sur la topologie profinie. J'aimerais par exemple définir une limite d'actions de sous-groupes discrets du groupe modulaire, agissant sur le demi-plan de Poincaré. Je pense que c'est la topologie profinie qui est utilisée, mais je ne suis pas sûr, et j'aimerais savoir si elle permet de classifier ces actions.
Merci.
ignatus.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Je ne suis pas sûr de ce dont tu parles, mais la réponse est "probablement non"
    Déjà profini et "réel/complexe" ça interagit mal en général (on peut rendre cet énoncé précis modulo des hypothèses peu restrictives genre "continuité de l'action" :-D) mais aussi les sous-groupes discrets intéressants de $SL(2,\mathbb Z)$ sont rarement finis, et finalement "limite le long de sous-groupes" ça ne crie pas "profini", ce qui crie "profini" c'est "limite le long de quotients"

    Après si tu précises ta requête, on.pourra mieux répondre : je me gourre peut-être
  • ignatus
    ignatus
    Oui, tu as probablement raison Maxtimax.

    Et du coup, tu as une idée de comment définir une limite d'actions de groupes, si l'on prend des sous-groupes discrets de plus en plus grands ?

    ignatus.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Bah est-ce qu'elles sont compatibles ? i.e. est-ce que la restriction de l'action d'un grand groupe à un sous-groupe est l'action de ce sous-groupe ?

    Si oui ça te donne juste une action sur l'union ( = la colimite = la "limite" inductive)
  • ignatus
    ignatus
    Peut-être que ma question est mal posée, je ne pense pas que les choses soient aussi triviales. Mais il faudrait que je me replonge dans mon cours de géométrie hyperbolique pour resaisir la question que j'avais posée à cette question, et que le prof avait écartée en disant que c'était compliqué...

    Par contre, pour en revenir à la topologie profinie, j'ai du mal à la saisir avec la définition trouvée sur wikipedia. Tu pourrais me la rendre plus intuitive ?

    ignatus.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Bah je ne sais pas, soit l'action change de sous-groupe à sous-groupe, auquel cas l'action d'un élément fixé n'a pas énormément de sens, soit elle ne change pas auquel cas ça marche et c'est pertinent.

    Pour la topo profinie, je ne sais pas, qu'est-ce qui te gêne ?

    L'intuition que j'en ai c'est que c'est la topologie qui te permet de retenir précisément l'information "c'est une limite inverse d'ensembles finis" et rien de plus (i.e. on ne sait pas a priori où on prend cette limite).
  • ignatus
    ignatus
    Voici l'un des rares "documents" que j'ai trouvé à ce sujet sur le net.

    Cela ne me donne pas trop d'indications sur ce à quoi cela peut servir. Quand même, une chose à vérifier, est-ce la topologie usuelle sur ce que l'on appelle les groupes profinis ?

    ignatus.
  • Poirot
    Poirot
    Oui, on peut montrer que ça coïncide avec la topologie usuelle sur les groupes profinis. Si $G$ est la limite projective des groupes finis $G_i$ (muni d'un système compatible de morphismes), la topologie usuelle sur $G$ est la topologie induite par celle de la topologie produit sur $\prod_i G_i$, les $G_i$ étant munis de la topologie discrète.
  • ignatus
    ignatus
    Merci Poirot, mais cela ne me semble pas évident.

    La topologie profinie sur un groupe peut être définie comme la topologie ayant comme base d'ouverts l'ensemble des classes à gauche des sous-groupes d'indice fini. Un ouvert de cette topologie est donc une union de classes à gauche. Cette topologie est clairement incluse dans la topologie induite par la topologie produit sur un groupe profini à partir d'un système de sous-groupes munis de la topologie discrète.
    Mais la réciproque ne me semble pas évidente.
    Je vais essayer de chercher un peu avant de demander une réponse.

    ignatus.
  • ignatus
    ignatus
    Pour la réciproque, cela veut dire que si l'on prend n'importe quelle partie d'un groupe, qui est un ouvert pour la topologie discrète, elle doit pouvoir s'écrire comme réunion de classes à gauche de sous-groupes d'indice fini. J'avoue que je ne vois pas pourquoi cela devrait être vrai.

    ignatus.
  • ignatus
    ignatus
    En fait, il ne faut pas oublier qu'il s'agit d'un système projectif de groupes, les parties sont donc soumises à la contrainte de respecter les morphismes.

    Une partie de G est donc un ensemble d'éléments, chacun étant constitué d'une suite finie de gi vérifiant la contrainte des morphismes. Si l'on remplace chaque gi par l'élément neutre du groupe et que l'on complète par les groupes Gj restants, on obtient un sous-groupe de G. Il est d'indice fini si chaque Gi est un groupe fini.
    Ainsi, chaque suite finie de gi donne lieu à une classe à gauche d'un sous-groupe de G d'indice fini.
    En sommant sur toutes les suites finies, on obtient bien que notre partie de G, qui est ouverte pour la topologie induite de la topologie produit, est une réunion de classes à gauche de sous-groupes d'indice fini. C'est donc un ouvert pour la topologie profinie.

    Est-ce que c'est juste ?

    ignatus.
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