Difféomorphisme

Keynes
Keynes
dans Topologie
Salut à tous
Soit $r,R$ deux réels strictement positifs on note $ D(x,r)=\{y \in\mathbb{R}^{n}:\|y-x\|\leq r\}$
Je souhaite montrer que $ D(x,r)$ et $D(x,R)$ sont $C^{k}$ difféomorphes $\forall k .$
Quitte à permuter $r,R$ on peut supposer que $r\leq R$,
soit $f:D(x,r)\to D(x,R)$ telle que $f(y)=y+D(x,R-r)$
cette application m'avait l'air de convenir. Avez-vous une indication à me suggérer ?

Réponses

  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Bonsoir,
    Tu as défini une application multivoque de $D(x,r)$ dans $D(x,R)$, où si tu préfères une application de $D(x,r)$ dans $\mathscr{P}(D(x,R))$, car $f(y)$ n'est pas un $n$-uplet de nombres réels mais une partie de $D(x,R)$ !
  • Keynes
    Keynes
    @Philippe j'avais songé à prendre $u \in D(0,1)$ et définir
    $f_{u}:D(x,r)\to D(x,R)$ telle $f_{u}(y)=y+x+(R-r)u$
  • Ramufasa
    Ramufasa
    Bonsoir,

    Tu devrais faire un dessin afin de voir ce qui ne va pas dans ton application.

    Plus simplement, tu peux montrer en utilisant une translation et une dilatation que tes deux ensembles sont difféomorphes à la boule de centre 0 et de rayon 1.
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Pourquoi pas une simple homothétie de centre $x$ ?
  • Keynes
    Keynes
    Merci $ f:D(x,r)\to D(x,R)$ telle que $f(y)=x+\alpha r(y-x)$ avec $\alpha= \frac{R}{r^2}$.
  • Keynes
    Keynes
    Bonsoir à tous j'ai besoin d'une indication pour montrer que
    $S^{1}$ et $ [0,1]$ ne sont pas $C^{k}$ difféomorphes $\forall k$
  • Poirot
    Poirot
    Ils ne sont même pas homéomorphes. Une manière simple de le voir est que $S^1$ privé d'un point est toujours connexe, alors que $[0, 1]$ privé d'un point autre que $0$ ou $1$ ne l'est pas.
  • Keynes
    Keynes
    Merci @Poirot
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