Un espace ultramétrique complet

Salut bs,


Si ta suite est de Cauchy, tu as pour tout $p \geq 0$, $k(u_N,u_{N+p}) > 1/ \varepsilon$. En posant $k=E(1/varepsilon)-1$ tu obtiens que toutes les suites $u_{N+p}$ ont leur $k$ premiers termes égaux aux $k$ premiers termes de la suite $u_N$. En particulier pour le $k$-ième terme : $u_N^k=u_{N+1}^k=\cdots$. On sent bien que ce sera encore le cas de la limite éventuelle $u$, donc on va s'en servir pour définir $u$.


Plus précisément, pour définir $u^k$ pour un $k \in \N$ donné, on choisit $\varepsilon > 0$ tel que $k +1 \leq 1/\varepsilon$ par exemple $\varepsilon=1/(k+1)$ (à vérifier), ça nous donne un $N$ avec la propriété de Cauchy, et on va poser $u^k=u_N^k$. Reste à vérifier que ça ne dépend pas du choix de $N$.


La suite $u$ est dans $E$ par construction puisqu'on a bien défini une suite de points de $X$. Enfin, pour la convergence, on se donne $\varepsilon > 0$, qui nous donne un $N$ avec la propriété de Cauchy, et on vérifie que pour $n \geq N$ la suite $u_n$ a ses $k$ premiers termes égaux à ceux de $u$, où $k$ est choisi comme précédemment : c'est normal puisqu'on a construit $u$ précisément pour qu'elle ait cette propriété. Mais si $u_n$ et $u$ ont leurs $k$ premiers termes égaux, cela veut dire que $k(u,u_n) \geq k+1$ et donc...

Oui, "la suite $u_n$" ou "la suite $u$" font référence aux éléments $u_n$ et $u$ de l'espace $E$, qui se trouvent être des suites $(u_n^0,u_n^1,u_n^2,...)$ ou $(u^0,u^1,u^2,...)$.

Pour surmonter tes difficultés je pense qu'il suffit que tu voies comment marche la distance $d$ : pour que deux suites soient proches, il faut carrément qu'elles soient égales jusqu'à un certain rang. Plus ce rang est élevé plus les suites sont proches et vice-versa (et de façon inversement proprtionnelle). A la limite, lorsque la distance tend vers 0, le rang tend vers l'infini.

bonjour bs, des personnes mieux informées que moi me corrigeront ou me compléteront
si je dis que l'exemple fondamental de distance ultramétrique est donnée sur $\Q$ à partir d'un nombre premier $p$ par:
par $d(r,r')= \phi_p(r'-r)$ avec $\phi(r)={ (\frac{1}{p})}^{-v(r)}$
avec $v$ valuation de $r$ suivant $p$.
Dans ce cas, la proximité des points dépend de la taille de l'exposant de la puissance de $p$ que l'on peut mettre en facteur entre les deux rationnels que l'on compare. Le complété de $\Q$ pour cette distance est le corps des nombres $p$-adiques désigné par $\Q_p$ qui est d'un usage essentiel en théorie algébrique des nombres (voir Descombes {\it éléments de théorie des nombres}, Serre {\it cours d'arithmétique; corps locaux}, Amice {\it Les nombres p-adiques}, Koblitz {\it p-adic numbers, p-adic analysis and zeta functions}, Hasse {\it zahlentheorie}, Weiss {\it Algebraic number theory}, etc...)

N.B. une parenthèse supplémentaire peut aider:)

bonjour, effectivement l'idée intuitive consiste en le développement infini à gauche de la virgule en base $p$.

en fait le sujet a été abordée dans "distance ultramétrique"!