Boule contenant un compact
Bonjour à tous,
Etant donné un compact $K$ de l'espace affine euclidien $\cal{E}\rm$, je cherche à montrer qu'il existe une unique boule fermée (pour la distance euclidienne) de rayon minimal qui contient le compact $K$.
Comme on est en dimension finie, un compact est fermé et borné et j'ai réussi à intuiter un peu quelle pouvait être cette boule:
en notant $O$ le "centre" du compact (le mot centre ayant un sens restant à définir), la boule de centre $O$ et de rayon la moitié du diamètre de $K$ semblerait convenir. Ensuite, il reste à montrer que c'est la seule et que c'est rayon est minimal..... et pour ça, je bloque!
Pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance et joyeuses fêtes à tous!
Raphael
Etant donné un compact $K$ de l'espace affine euclidien $\cal{E}\rm$, je cherche à montrer qu'il existe une unique boule fermée (pour la distance euclidienne) de rayon minimal qui contient le compact $K$.
Comme on est en dimension finie, un compact est fermé et borné et j'ai réussi à intuiter un peu quelle pouvait être cette boule:
en notant $O$ le "centre" du compact (le mot centre ayant un sens restant à définir), la boule de centre $O$ et de rayon la moitié du diamètre de $K$ semblerait convenir. Ensuite, il reste à montrer que c'est la seule et que c'est rayon est minimal..... et pour ça, je bloque!
Pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance et joyeuses fêtes à tous!
Raphael
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Réponses
tu peux définir le centre avec une intégrale (un barycentre en fait) à condition d'accepter l'intégration de lebesgue
mais tu peux faire sans:
tu poses r(x) l'inf des rayons tels que B(x,r) contienne ton compact.
(il existe car le compact est borné)
et en montrant que cette fonction est continue sur R^n, tu sais qu'elle atteint son inf sur K...
pour l'unicité il faut faire un dessin
bref, la difficulté est de montrer que r(x) est continue
a) elle contient $K$ (conséquence de l'inégalité triangulaire)
b) elle est de rayon minimal (car elle contient deux point distants de $2R$)
c) C'est la seule car si une autre boule de rayon $R$ convient, cette dernière doit contenir $A$ et $B$ qui forment un diamètre.
ce sup existe il suffit de prendre une suite de $K$ et d'utilliser la compacité de $K$ et tu prend comme rayon de ta boule $10sup\{d(O,M)|M\in K\$ et voila
geoffrey
ce sup existe il suffit de prendre une suite de $K$ et d'utilliser la compacité de $K$ et tu prend comme rayon de ta boule $10sup\{d(O,M)|M\in K\$ et voila
geoffrey
ce sup existe il suffit de prendre une suite de $K$ et d'utilliser la compacité de $K$ et tu prend comme rayon de ta boule $10sup\{d(O,M)|M\in K\$ et voila
geoffrey
ce sup existe il suffit de prendre une suite de $K$ et d'utilliser la compacité de $K$ et tu prends comme rayon de ta boule $ 10 sup\{d(O,M)|M\in K\$ et voila
geoffrey
Ce $\sup$ existe il suffit de prendre une suite de $K$, d'utilliser la compacité de $K$ et tu prends comme rayon de ta boule $10. \sup\{d(O,M)\mid M\in K\}$ et voilà
geoffrey
Ce n'est rien d'autre que ce que propose le poulpe.
Merci geoffrey!
Mais, à mon avis, en fixant un point $O$ qqe dans le compact $K$, on ne trouvera pas la valeur minimale du rayon (par exemple, si on prend le point $O$ sur le bord du compact, le sup de la distance sera égal au diamètre du compact et le rayon ne sera pas minimal!)
De même, comme l'a dit gb, à quoi sert le facteur 10? Et la boule que tu obtiens, elle n'est pas unique....
Pour tout $r\in\R_+$ Notons $E_r=\{x\in\mathcal{E}, K\subset B_f(x,r)\}$ et $R=\{r\in\R_+,\ E_r\ne \emptyset\}$.
1) $K$ étant borné, $R$ et non vide et possède donc une borne inf noté $\rho$.
2) La propriété de la borne inf permet d'affirmer que
$$\forall n\in\N^*,\ \exists x_n \in \mathcal{E}, K\subset B_f(x_n,\rho+\frac{1}{n})$$
3) La suite $(x_n)$ est une sous de point du compact $B_f(x_1,2\rho+2)$ elle admet donc une sous-suite convergente. On note $a$ sa limite.
4) On montre que : $\forall x\in K,\forall \varepsilon>0,\ ||x-a||\le \rho+\varepsilon$. On en déduit que $K\subset B_f(a,\rho)$.
Sauf erreur de ma part on a utilisé simplement que $K$ est borné.
L'unicité mérite un autre post...
a+
Non seulement la boule de rayon minimal n'est a priori pas forcément de diamètre le diamètre du compact, mais il n'est pas non plus vrai en général que le centre de la boule en question est dans le compact.
Voici une esquisse de solution.
On commence par prendre une suite $r_n$ de rayons tendant vers $r$ en décroissant, l'infimum des rayons des boules contenant $K$.
Il existe une suite $x_n$ de rayons tels que $B(x_n,r_n)$ contienne $K$. Ces $x_n$ ne sont pas forcément dans $K$, mais comme $(r_n)$ décroît, il est possible de les inclure dans une grande boule, qui est compacte.
On peut donc extraire une suite convergente de la suite $(x_n)$ qui converge vers un point $x$. Une ou deux utilisations judicieuses de l'inégalité triangulaire, et des découpages en $\varepsilon$, montrent que la boule de centre $x$ et de rayon $r$ contient $K$.
Pour l'unicité, un dessin et une application intelligente du théorème de Pythagore suffisent.
On peut montrer pas mal de choses avec ça. Par exemple, un groupe compact d'isométries affines a une orbite compacte, donc stabilise un point (le centre de la boule de rayon minimal en question), donc est conjugué à un sous groupe de O(n).
Pour l'unicité, comme dit le poulpe il suffit de faire un dessin : si $K$ est contenu dans deux boules, il est contenu dans leur intersection, elle-même contenu dans une boule de rayon plus petit que les boules initiales.
Soit $(E,d)$ un espace métrique.
A quelles conditions (les plus fines possibles) peut-on affirmer que pour toute partie bornée $A$, il existe une boule fermée contenant $A$ de rayon minimal ?
Intuitivement j'imagine mal un espace métrique $E$ et une partie bornée de $E$ qui ne soit incluse dans aucune boule fermée. Pourtant pour le problème initial on a utilisé le fait qu'une boule fermée est compact ce qui est faux en général.
Pour l'unicité je sens que cela va se corser (je pense à la distance discrète et je crains qu'on ne puisse rien dire...)
Joyeux réveillon.
a+
Par exemple, prends un segment horizontal dans $\R^2$ muni de la norme infinie : il y a beaucoup de carrés de côté la longueur du segment et contenant ce segment.
A priori, ce n'est pas très compliqué de trouver un espace $E$ avec une partie compacte non contenue dans une boule de rayon minimal : il suffit de prendre $\R^2$ et d'enlever un point, qui est le centre d'un cercle...Par contre, toute partie bornée est incluse dans une boule fermée, évidemment.
Sinon, il y a une condition intéressante pour qu'un espace métrique $(E,d)$ vérifie à la fois l'existence et l'unicité : c'est une inégalité que l'on nomme CAT(0) et qui exprime le fait qu'un espace métrique est "à courbure négative".
En gros, tu peux l'obtenir à partir de l'égalité triangulaire, en mettant un $\leq$ au bon endroit.
Pour l'existence (posée il y a 14ans), je mets une questions dans "il est facile de" demandant si la complétude est nécessaire.