Oui, ça je le sais, egoroff. Pour un espace de dimension finie qui serait connexe, disons même connexe par arcs, si un sev est ouvert, alors étant aussi fermé, il est soit vide, soit c'est E en entier. Or un espace métrique de dimension finie est-il toujours connexe par arcs? J'ai bien envie de dire oui, en reliant toujours deux points par un segment, mais s'il y a des trous?... je ne sais pas trop...
<BR>
<BR>Ce que je raconte n'avance sûrement à rien...
Ouh là là attention aux confusions, qu'appelles-tu dimension d'un espace métrique ? Je crois que ce que tu voulais dire est : est-ce qu'un espace vectoriel (normé) est toujours connexe, et la réponse est oui, il est même connexe par arcs puisqu'on peut joindre deux points par un segment comme tu l'as dit, et ce en dimension quelconque.
Il n'y a pas de "trous" dans un espace vectoriel ! Ni dans un sous-espace puisque les points du segment joignant deux points sont une combinaison linéaire des extrémités et que le s.e.v. est justement stable pour les lois d'espace vectoriel. Autrement dit un s.e.v. est carrément convexe.
Enfin bon, tu donnes une démo alternative du résultat de tata dans le cas où le s.e.v est aussi fermé.
- F est ouvert et non vide donc contient une boule B ouverte de rayon non nul d (apparemment, c'est ce point la qui fait debat)
- par translation on peut supposer cette boule centrée en 0
- par homothétie, F contient tous les vecteurs de E (pour v dans E, il existe l tel que l.|v| < d)
Ok tout va bien, E est un espace vectoriel NORME !!!
Dans un evn, les boules forment un système fondamental de voisinnage, ie tout voisinnage d'un point x contient une boule centrée en x.
Si donc F est sev de E, non vide, il contient un point x. Si F est ouvert, il contient un voisinnage de x, donc une boule centrée en x, notons-la B(x)
Pour tout y dans B(x), y est dans F puis y-x est encore dans F. Ainsi la translation de vecteur -x envoie B(x) sur une boule B(0). La translation est un homéomorphisme de réciproque la translation de vecteur x
Ainsi, B(0) est une boule ouverte, elle contient donc une base de E dont les éléments sont de norme suffisament petite. Or B(0) est contenue dans F, et les homothéties laissent F invariant, donc E = IR.B(0) est inclus dans F, ie F = E.
Désolée pour la rédaction lourde et maladroite. En fait, j'étais partie dans l'idée que E était un espace vectoriel quelconque... auquel cas, on n'a pas de notion de boule, et c'est tout de suite plus compliqué...
Egoroff, un espace vectoriel peut-être muni d'une topolgie même s'il n'est pas normé et c'est à ça que je faisais allusion.
Ce n'est alors pas un espace métrique et la notion de boule n'a alors pas de sens.
dada c'est surréaliste...Egoroff a donné la bonne raison: si le sev F n'est pas d'intérieur vide, dans un evn, il contient une boule ouverte et par homothétie et translation (c'est la qualité de la topologie d'un espace vectoriel: les voisinages de x sont de la forme x + V avec V voisinage de 0 et une base de voisinage de 0 est donnée à partir d'un voisinage V_0 en considérant ses homothétiques kV_0 pour k dans R (s'il s'agit d'un R-ev et en raffinant un peu
avec un corps topologique muni d'une valuation pour les amateurs de complications..)), si x est dans E et B(a,r) est incluse dans F alors x est inclus dans B(0, ||x|| + 1) et B(0, ||x|| + 1) = {y tels que y = a -(||x|| + 1)/r b avec b dans B(a,r)} et on utilise la stabilité par + et . dans F.
c'est ce qu'on appelle la propriété d'absorbsion des des voisinages dans un evt (espace vectoriel topologique): si x est dans E et si V est un voisinage de 0 il existe k tel que x est dans kV homothétique de V dans le rapport k.
Désolé lili, je me suis jeté sur toi un peu vite. Enfin, c'était juste pour rigoler. Tu as raison, ça se corse pour un evt quelconque, et comme l'a pertinemment rappelé gilles, la propriété qu'il nous faut est l'absorption (et pas absorbsion sauf erreur ;-) ce qui est quand même vérifié pour les espaces "naturels" type Fréchet et compagnie.
gilles : très drôle le "dada, c'est surréaliste" !
bonjour Egoroff, désolé pour la faute d'orthographe; je savais que quelque chose clochait mais je n'ai pas eu le courage d'aller jusqu'au dictionnaire.
Bonne après-midi à tous.
Gilles
Pas grave Egoroff!
En fait on peut avoir la notion de boule avec une semi-norme, puis avec une famille de semi-norme.
Les espaces de Frechet sont par définition localement convexe, donc leur topologie est associée à une famille de semi-norme (je sais que c'est vrai, mais j'ai la flemme de réfléchir à la démo), et donc on peut parler de boules...
C'est vrai que les espaces auxquels on a à faire sont en général muni d'une topologie "gentille" ie associée à une norme ou à une famille de semi-norme.
Cela dit ça m'interresserait de savoir ce qu'on peut faire dans un cadre juste topologique, par exemple, les sous-espaces sticts sont-ils nécéssairement d'intérieurs vide?
la réponse est oui dans la mesure où tout voisinage de l'origine est absorbant au sens où:
si x est dans E et si V est un voisinage de 0 il existe k tel que x est dans kV homothétique de V dans le rapport k.
Enfin, il faudrait que j'aille vérifier mes vieux polys (ceux du professeur Lelong)
ou bien jeter un oeil dans Bourbaki. (C'est fait...)
Merci Gilles.
Ma question est en fait la suivante : pourquoi tout voisinnage de l'origine est-il absorbant (ayant cela je suis bien d'accord qu'on voit tout de suitequ'un ss-ev strict est fermé).
Un espace vectoriel topologique est pour moi un espace vectoriel muni d'une topologie qui rend continue la somme et le produit par un scalaire. Partant de ça, comment voit-on que tout voisinnage de l'origine est absorbant?
Désolée, c'est sans doute évident...
bonsoir, je pense que le principe est que pour que V soit un voisinage de zéro
compatible avec la structure d'espace vectoriel, il faut qu'ilcontienne un sous-voisinage V' ayant cette propriété: (là j'ai vérifié dans mon Bourbaki sur les evt... acheté 56FF en 1977 chez J Gibert) en effet l'application:
$\R: \longrightarrow E$ telle que:
$ \lambda \longrightarrow \lambda .x_0$ est continue pour tt $x_0$:
Il ne semble pas que l'absorption soit automatique dans les evt, d'ailleurs il me semble qu'ellle rentre dans la définition des espaces tonnelés. Evidemment je n'ai pas de contre-exemple ! Mais je suis d'accord avec lili (sauf quand elle écrit que tout sev strit est fermé).
donc, pour tout $x_0$ de E, on peut trouver $\alpha>0$ tel que:
$x_0 \in \frac{1}{| \lambda |}.V$
avec $ \frac{1}{| \lambda |} > \alpha$.
Quant aux espaces tonnelés, ils arrivent dans le cas où les voisinages de 0 admettent une base formées de parties convexes; à partir de là, la théorie décolle un peu car on peut construire à partir de telles parties des semi-normes et si la base de voisinage est dénombrable, on finit par arriver aux espaces de Fréchet
Bien vu gilles, et désolé d'avoir mis ta parole en doute.
En fait j'ai confondu, la propriété qui n'est pas automatique, et qui est vérifiée dans certains espaces type tonnelé, c'est si je ne m'abuse plus ou moins une réciproque de celle-ci, du style toute partie convexe, équilibrée et je ne sais quoi encore est un voisinage de l'origine. Aurais-tu une référence pour tout ça, outre Bourbaki ?
Ma question est en fait la suivante : pourquoi tout voisinnage de l'origine est-il absorbant [...]
Un espace vectoriel topologique est pour moi un espace vectoriel muni d'une topologie qui rend continue la somme et le produit par un scalaire. Partant de ça, comment voit-on que tout voisinnage de l'origine est absorbant?
Désolée, c'est sans doute évident...
Comme ça coute pas cher, même après 8 ans (visiteur futurs). Le fait de dire que $x.u$ tend vers $0_E$ quand $x$ tend vers $0$ n'est qu'une abréviation pour dire que $\forall V$ ouvert contenant $0_E, \exists \epsilon>0$ tel que $\forall x\in ]-\epsilon,\epsilon[: x.u\in V$. Cela implique évidemment que $\cup_{n\in \N} nV=$ l'espace entier quand $V$ est un ouvert qui contient $0_E$.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
Ton sous-ev est non vide, donc contient une boule ouverte (pourquoi ?), et il est stable par ...
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<BR>Ce que je raconte n'avance sûrement à rien...
Il n'y a pas de "trous" dans un espace vectoriel ! Ni dans un sous-espace puisque les points du segment joignant deux points sont une combinaison linéaire des extrémités et que le s.e.v. est justement stable pour les lois d'espace vectoriel. Autrement dit un s.e.v. est carrément convexe.
Enfin bon, tu donnes une démo alternative du résultat de tata dans le cas où le s.e.v est aussi fermé.
- F est ouvert et non vide donc contient une boule B ouverte de rayon non nul d (apparemment, c'est ce point la qui fait debat)
- par translation on peut supposer cette boule centrée en 0
- par homothétie, F contient tous les vecteurs de E (pour v dans E, il existe l tel que l.|v| < d)
donc E=F
le resultat utile dont decoule le fait énoncé par tata est :
" dans un evn E , un sous espace vectoriel est soit egal à E ,soit d'interieur vide"
Oump.
Dans un evn, les boules forment un système fondamental de voisinnage, ie tout voisinnage d'un point x contient une boule centrée en x.
Si donc F est sev de E, non vide, il contient un point x. Si F est ouvert, il contient un voisinnage de x, donc une boule centrée en x, notons-la B(x)
Pour tout y dans B(x), y est dans F puis y-x est encore dans F. Ainsi la translation de vecteur -x envoie B(x) sur une boule B(0). La translation est un homéomorphisme de réciproque la translation de vecteur x
Ainsi, B(0) est une boule ouverte, elle contient donc une base de E dont les éléments sont de norme suffisament petite. Or B(0) est contenue dans F, et les homothéties laissent F invariant, donc E = IR.B(0) est inclus dans F, ie F = E.
Désolée pour la rédaction lourde et maladroite. En fait, j'étais partie dans l'idée que E était un espace vectoriel quelconque... auquel cas, on n'a pas de notion de boule, et c'est tout de suite plus compliqué...
lili
Ce n'est alors pas un espace métrique et la notion de boule n'a alors pas de sens.
lili
avec un corps topologique muni d'une valuation pour les amateurs de complications..)), si x est dans E et B(a,r) est incluse dans F alors x est inclus dans B(0, ||x|| + 1) et B(0, ||x|| + 1) = {y tels que y = a -(||x|| + 1)/r b avec b dans B(a,r)} et on utilise la stabilité par + et . dans F.
gilles : très drôle le "dada, c'est surréaliste" !
Bonne après-midi à tous.
Gilles
En fait on peut avoir la notion de boule avec une semi-norme, puis avec une famille de semi-norme.
Les espaces de Frechet sont par définition localement convexe, donc leur topologie est associée à une famille de semi-norme (je sais que c'est vrai, mais j'ai la flemme de réfléchir à la démo), et donc on peut parler de boules...
C'est vrai que les espaces auxquels on a à faire sont en général muni d'une topologie "gentille" ie associée à une norme ou à une famille de semi-norme.
Cela dit ça m'interresserait de savoir ce qu'on peut faire dans un cadre juste topologique, par exemple, les sous-espaces sticts sont-ils nécéssairement d'intérieurs vide?
lili
si x est dans E et si V est un voisinage de 0 il existe k tel que x est dans kV homothétique de V dans le rapport k.
Enfin, il faudrait que j'aille vérifier mes vieux polys (ceux du professeur Lelong)
ou bien jeter un oeil dans Bourbaki. (C'est fait...)
Ma question est en fait la suivante : pourquoi tout voisinnage de l'origine est-il absorbant (ayant cela je suis bien d'accord qu'on voit tout de suitequ'un ss-ev strict est fermé).
Un espace vectoriel topologique est pour moi un espace vectoriel muni d'une topologie qui rend continue la somme et le produit par un scalaire. Partant de ça, comment voit-on que tout voisinnage de l'origine est absorbant?
Désolée, c'est sans doute évident...
lili
compatible avec la structure d'espace vectoriel, il faut qu'ilcontienne un sous-voisinage V' ayant cette propriété: (là j'ai vérifié dans mon Bourbaki sur les evt... acheté 56FF en 1977 chez J Gibert) en effet l'application:
$\R: \longrightarrow E$ telle que:
$ \lambda \longrightarrow \lambda .x_0$ est continue pour tt $x_0$:
donc :
$\forall V, \exists \alpha > 0, |\lambda| < \alpha \Rightarrow
\lambda .x_0 \in V$
En réécrivant ceci, on doit arriver au résultat.
Il ne semble pas que l'absorption soit automatique dans les evt, d'ailleurs il me semble qu'ellle rentre dans la définition des espaces tonnelés. Evidemment je n'ai pas de contre-exemple ! Mais je suis d'accord avec lili (sauf quand elle écrit que tout sev strit est fermé).
Quand je vous ai lu, j'ai pensé "je n'ai jamais dit ça, il a encore mal compris!"...
Mille excuses pour la faute d'une part et pour la mauvaise pensée d'autre part!
En y réfléchissant, je ne vois pas non plus pourquoi l'absorption serait automatique.
lili
pour tout $x_0$ de E, pour tout voisinage V de
l'application :
$ \mathbb{R}: \longrightarrow E$ telle que :
$ \lambda \longrightarrow \lambda .x_0$ est continue {\bf en zéro } pour tt $ x_0$ :
$ \forall V, \exists \alpha > 0, \vert\lambda\vert < \alpha \Rightarrow \newline \lambda .x_0 \in V$
donc, pour tout $x_0$ de E, on peut trouver $\alpha>0$ tel que:
$x_0 \in \frac{1}{| \lambda |}.V$
avec $ \frac{1}{| \lambda |} > \alpha$.
Quant aux espaces tonnelés, ils arrivent dans le cas où les voisinages de 0 admettent une base formées de parties convexes; à partir de là, la théorie décolle un peu car on peut construire à partir de telles parties des semi-normes et si la base de voisinage est dénombrable, on finit par arriver aux espaces de Fréchet
En fait j'ai confondu, la propriété qui n'est pas automatique, et qui est vérifiée dans certains espaces type tonnelé, c'est si je ne m'abuse plus ou moins une réciproque de celle-ci, du style toute partie convexe, équilibrée et je ne sais quoi encore est un voisinage de l'origine. Aurais-tu une référence pour tout ça, outre Bourbaki ?
lili
Comme ça coute pas cher, même après 8 ans (visiteur futurs). Le fait de dire que $x.u$ tend vers $0_E$ quand $x$ tend vers $0$ n'est qu'une abréviation pour dire que $\forall V$ ouvert contenant $0_E, \exists \epsilon>0$ tel que $\forall x\in ]-\epsilon,\epsilon[: x.u\in V$. Cela implique évidemment que $\cup_{n\in \N} nV=$ l'espace entier quand $V$ est un ouvert qui contient $0_E$.