Continu VS connexe

Réponse : non, par exemple tu sais que les fonctions dérivées vérifient la propriété des valeurs intermédiaires, c'est le théorème de Darboux, et cependant elles ne sont pas forcément continue. Si tu veux un contre-exemple explicite, sur un compact qui plus est, tu peux considérer $\sin (1/x)$ de $[-1,1]$ vers lui-même (prolongée comme tu veux en $0$), ça doit fonctionner.

bs> ??

Je ne comprends toujours pas.

Si tu parles d'homéomorphisme, c'est que tu sais déjà que ton application est continue (et bijective et ...)

oui gb.

Par contre, on a : si A est une partie cpa de (E,d) et f: A--->F application continue sur A, alors f(A) est cpa dans $(F,\delta)$.

Je ne suis pas d'accord avec toi Archimède :

- Il ne faut confondre image et graphe. L'image de $f(x)=\sin (1/x)$ c'est $[-1,1]$ qui est bien connexe par arcs ; plus précisément si $I$ est connexe par arcs et ne contient pas $0$ alors $f$ est continue sur $I$ donc $f(I)$ est connexe par arcs, si $I$ est réduit à $\{0\}$ alors $f(I)$ est évidemment connexe par arcs et si $I$ contient un voisinage à droite ou à gauche de $0$ alors $f(I)=[-1,1]$.

- L'indicatrice de $\Q$ ? Mais $[0,1]$ est connexe par arcs et son image est $\{0,1\}$ qui ne l'est pas ! Je pense que tu as voulu dire qu'on prenait une fonction définie sur $\Q$ mais ta formulation laissait penser qu'on prenait une fonction à variable réelle.

Je ne comprends pas le 3) bs. D'après ton point 1), une telle fonction n'est pas nécessairement continue, alors être un homéomorphisme ?

En y réfléchissant je pense que tu as voulu dire : une injection par laquelle l'image de tout connexe par arcs est connexe par arcs est-elle un homéomorphisme (sur son image) ? Réponse : non, contre-exemple classique $f \, : \, [0,2 \pi[ \to \C, \, t \mapsto e^{it}$ est injective et continue, donc transforme les cpa en cpa, mais n'est pas un homéomorphisme.

Autre question possible qui ressemble à la tienne : une injection par laquelle l'image de tout connexe par arcs est connexe par arcs est-elle continue ? A ce moment c'est le contre-exemple d'Archimède qu'il faut appeler à la rescousse, on prend $\Q$ comme espace de départ, alors toute fonction transforme les cpa en cpa mais on peut trouver une injection non continue (par exemple $x \mapsto x$ si $x<0$ et $x \mapsto x+1$ si $x \geq 0$).

Je t'en prie, bs.

PS : Je suis fan de tes nombres brésiliens ! Quand est-ce que tu nous ponds un petit article ?